Me pregunté cuál es la interpretación de la irreductibilidad de un espacio de módulos para el functor que representa. Para lo propio, existe el criterio valorativo y para lo (formalmente) suave, existe la propiedad de elevación infinitesimal, pero no conozco algo similar para lo irreducible. ¿Puede alguien arrojar algo de luz sobre esto?
Respuesta
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Su pregunta es un poco vaga, pero permítame intentar decir algo. Ser irreductible es una propiedad global por lo que no puede haber ninguna caracterización local como ser suave, regular, etc. Si $\mathcal{M}$ es el "espacio" que representa su functor, decimos que es irreducible si admite un mapa suryectivo desde una variedad irreducible (esto es sólo topológico).
Si se piensa en lo que significa ser irreducible, también podríamos decir que dos puntos cerrados cualesquiera de $\mathcal{M}$ puede ser conectado por una variedad irreducible. Desde el punto de vista functorial, esto significaría que cualesquiera dos objetos parametrizados viven en una familia sobre alguna variedad irreducible. Así, por ejemplo, decir que $M_g$ (el espacio de moduli de los geneus lisos $g$ es irreducible, es lo mismo que decir que para dos curvas lisas cualesquiera $C_1, C_2$ del género $g$ (digamos sobre un campo), hay una familia $f: S \rightarrow B$ tal que $B$ es irreducible, cada fibra geométrica es un género suave $g$ curva, y ambos $C_1$ y $C_2$ son fibras de $f$ . De hecho, puede tomar $B$ para ser una curva.
