Si $A+B+C+D=2\pi$ demostrar que..:

Question

Si $A+B+C+D=2\pi$ demostrar que..: $$\cos A+\cos B+\cos C+\cos D=4\cos\frac {A+B}{2}\cdot\cos\frac {A+C}{2}\cdot\cos\frac {B+C}{2}$$ .

Mi enfoque:

Aquí, $$A+B+C+D=2\pi$$ $$A+B=2\pi - (C+D)$$ $$ \sin(A+B)=\sin(2\pi-(C+D))$$ $$\sin(A+B)=-\sin(C+D)$$

Otra vez,

$$\cos(A+B)=\cos(2\pi-(C+D))$$ $$\cos(A+B)=\cos(C+D)$$

Ahora,

$$L.H.S=\cos A+\cos B+\cos C+\cos D$$ $$=2 \cos\frac {A+B}{2}\cdot\cos\frac {A-B}{2} + 2 \cos\frac {C+D}{2}\cdot \cos\frac {C-D}{2}$$ .

Me quedé atascado aquí. Por favor, ayúdame a completar la prueba.

Answer 1

Utilizaremos $2\cos X \cos Y = \cos(X+Y) + \cos(X-Y)$ .

\begin{align*} 4\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A+C}{2} \cos\frac{B+C}{2} &= 2\left(\cos\left(A + \frac{B+C}{2}\right) + \cos\frac{B-C}{2}\right)\cos\frac{B+C}{2}\\ &= 2\cos\left(A + \frac{B+C}{2}\right)\cos\frac{B+C}{2} + 2 \cos\frac{B-C}{2}\cos\frac{B+C}{2}\\ &= \cos(A+B+C) + \cos A + \cos B + \cos C \\ &= \cos(2\pi - D) + \cos A + \cos B + \cos C \\ &= \cos A + \cos B + \cos C + \cos D \end{align*}

Answer 2

$$cos\frac{C+D}{2}=cos\frac{2\pi-(A+B)}{2}=-cos\frac{A+B}{2}$$ $$cos\frac{C-D}{2}=cos\frac{C+A+B+C-2\pi}{2}=-cos\frac{A+C+B+C}{2}$$ Ahora ve a tu última línea $$2cos\frac{A+B}{2}(cos\frac{A-B}{2}+cos\frac{A+C+B+C}{2})$$ Utiliza la regla para convertir una suma de cosenos en una multiplicación y obtendrás tu prueba

Answer 3

Como $D=2\pi-(A+B+C),\cos D=\cos(A+B+C)$

$$\implies\cos A+\cos B+\cos C+\cos(A+B+C)$$

$$=2\cos\dfrac{A+B}2\cos\dfrac{A-B}2+2\cos\dfrac{A+B+C-C}2\cos\dfrac{A+B+C+C}2$$ (utilizando Fórmulas de prostaféresis )

$$=2\cos\dfrac{A+B}2\left(\cos\dfrac{A-B}2+\cos\dfrac{A+B+2cc}2\right)$$

Aplicar la Fórmula de Prostaféresis en $$\cos\dfrac{A-B}2+\cos\dfrac{A+B+2C}2$$