Determinante de una matriz de Vandermonde de raíces de polinomio mónico con coeficientes enteros

Question

Dejemos que $p(x)=\sum_{i=1}^n a_ix^i$ avec $a_i$ un número entero para todo $i$ y $a_n=1$ tal que $p(x)$ sólo tiene raíces reales, y dejemos que $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ sea el $n$ raíces de este polinomio. Entonces el determinante de Vandermonde

$\begin{vmatrix} 1 & \lambda_1 & \cdots & \lambda_1^{n-1} \\ 1 & \lambda_2 & \cdots & \lambda_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & \lambda_n & \cdots & \lambda_n^{n-1}\end{vmatrix}$

es un número entero. ¿Cómo puedo demostrarlo? Gracias.

Answer 1

De hecho, no es un número entero. La fórmula del determinante, comparada con la del discriminante $D$ de un polinomio, muestra que $\det =\sqrt D$ hasta las señales. Como ejemplo, si su polinomio es $x^2+x+1$ El Vandermonde es igual a $\pm i\sqrt{3}$ .

Answer 2

Para demostrar que el cuadrado del Vandermonde es un número entero (y para calcularlo explícitamente), observe que el cuadrado es la resultante del polinomio y su derivada, que viene dada por la Fórmula Sylvester (lo que obviamente le da un número entero).

Answer 3

Es simétrico en el $\lambda_i$ por lo que se puede expresar en los polinomios simétricos elementales en $\lambda_i$ . Estos últimos son exactamente los coeficientes de los polinomios originales, por lo que son números enteros.