Para $a,b>2$ , $a,b\in \Bbb{N}$ , demuestre que $2^a+1$ nunca es divisible por $2^b-1$

Question

Tengo que demostrar que para $a,b>2$ , $a,b\in \Bbb{N}$ que $2^a+1$ nunca es divisible por $2^b-1$ . El método que he utilizado es tomando casos, siendo el primero de ellos $b>a$ . Ahora bien, desde $b>a$ implica $2^b-1>2^a+1$ . Eso significaría que $2^a+1$ nunca es divisible por $2^b-1$ .

Para el caso $a=b=k$ , escribí $2^k=2n$ . Así que las preguntas se reducen al hecho de que $2n+1$ no es divisible por $2n-1$ . Ahora bien, si se observa la secuencia formada por $2n+1$ y $2n-1$ para diferentes valores de $n$ es una secuencia de números Impares(es decir $1,3,5,\cdots$ ).Ahora bien, dado cualquier valor de $n$ el número $2n+1$ da un número en la secuencia cuyo número anterior está dado por $2n-1$ . Ahora bien, dados dos números Impares consecutivos (Por consecutivos me refiero a esta progresión aritmética $(1,3,5,\cdots$ )) allí gcd es siempre uno y por lo tanto no es divisible.

Pero no sé cómo hacerlo para el caso $a>b$

Answer 1

Dejemos que $a=qb+r$ con la división euclidiana, $0 \le r< b$ entonces $$2^a+1 \equiv 2^{qb+r}+1\equiv 2^r+1 \mod 2^b-1.$$

Así que no puede ser congruente con el cero.

(Además, para $b=2$ , $a=r=1$ satisface. La razón es el hecho de $3$ : $\;\;$ $3=2^2-1=2+1$ ).

Answer 2

Supongamos que $a = bq + r$ , donde $0 \leq r < b, q \geq 1$ .

Supongamos: $2^a+1 = k(2^b-1) \Leftrightarrow k+1 = k2^b-2^a = 2^b(k-2^{a-b})$ .

Así, $k$ es impar, digamos $k = 2k_1-1$ Así que $2k_1 = 2^b(2k_1-1-2^{a-b})$ . Esto implica $k_1 =2^{b-1}k_2$ . Así que $k_2 = 2^bk_2-1-2^{a-b}$ o $1+2^{a-b} = k_2(2^b-1)$ .

Continúe con este procedimiento $q$ veces, obtenemos: $1+2^r=k_q(2^b-1)$ . Esta ecuación no tiene solución entera positiva, como has demostrado al principio.

Answer 3

La ideia se reduce a su primer caso. Dividir $a$ pour $b$ y escribir $a = bq + r$ , donde $0 \le r < b$ . Ahora ves que

$2^a + 1 = 2^{bq+ r} + 1 = 2^r\cdot (2^b)^q + 1$

Utiliza el binomio Newton y escribe

$(2^b)^q = \sum_{j=0}^{q} \binom{q}{j} (2^b - 1)^j$

Por lo tanto, tienes:

$2^a + 1 = 2^r\{ \sum_{j=0}^{q} \binom{q}{j} (2^b - 1)^j\} + 1$

Ahora, para $j > 0$ , $\binom{q}{j} (2^b - 1)^j$ es divisible por $2^b - 1$ . El término restante es $2^r + 1$ que no es divisible por $2^b - 1$ ya que $r < b$ .