Para simplificar esta cuestión, sólo consideramos el tiempo local de un movimiento browniano estándar $B_t$ a cero, lo denotamos como $L_t^0$ . En general, definimos $$\tag{1} L_t^0(B)=\lim_{\varepsilon\to\infty}\dfrac{1}{2\varepsilon}\int_0^t1_{(-\varepsilon,\varepsilon)}(B_s)\,ds. $$ Otra definición es la siguiente $$L_t^0(B)= |B_t|-\int_0^t\text{sgn}(B_s)\,dB_s\tag{2}.$$ Podemos aproximar $|B_t|$ en punto por $\sqrt{\varepsilon+B_t^2}$ tomando $\varepsilon\to0$ . Aplicando la fórmula de Ito a $\sqrt{\varepsilon+B_t^2}$ nos encontramos con que, $$\sqrt{\varepsilon+B_t^2}=\sqrt{\varepsilon}+\int_0^t\dfrac{B_s}{\sqrt{\varepsilon+B_s^2}}\,dB_s+\dfrac{1}{2}\int_0^t\dfrac{\varepsilon}{(\varepsilon+B_s^2)^{3/2}}\,ds. $$ Si tomamos el límite, la fórmula anterior sugiere que $$L_t^0(B)=\lim_{\varepsilon\to0}\dfrac{1}{2}\int_0^t\dfrac{\varepsilon}{(\varepsilon+B_s^2)^{3/2}}\,ds\tag{3}.$$ Mi pregunta es si podemos demostrar por cálculo directo que la ecuación (3) y (1) son iguales.
Respuesta
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Puede depender de lo que se entienda por "lo mismo". Por la fórmula del tiempo de ocupación para el tiempo local browniano $$ \int_0^t{\epsilon\over (\epsilon+B_s^2)^{3/2}}\,ds = \int_{-\infty}^\infty {\epsilon\over(\epsilon+x^2)^{3/2}}L_t^x\,dx=\int_{-\infty}^\infty {1\over (1+u^2)^{3/2}}L^{\sqrt{\epsilon}u}_t\,du. $$ Porque $$ \int_{-\infty}^\infty {1\over (1+u^2)^{3/2}}\,du=2, $$ enviando $\epsilon$ à $0$ en el lado derecho de (3), por lo que se obtiene $L^0_t$ debido a la continuidad en $x$ de $L^x_t$ .
