CDF y convergencia del máximo de la secuencia de V.R. i.i. de longitud aleatoria

Question

Dejemos que $X_1,X_2,...$ sea una variable aleatoria i.i.d $U(0,1)$ distribuido. Sea $N_m$ sea $Poisson(m)$ e independientes entre sí $X_i$ .

i)Hallar la función de densidad acumulada de $M_{m}=max(X_1,X_2,...,X_{N_{m}})$ .

ii)Demuestre entonces que $w=m(1-M_m) \to exp(1)$ como $m \to \infty$ en la distribución.

Mi libro muestra un ejemplo de un problema algo similar, pero la secuencia no es de longitud aleatoria, por lo que la FCD termina siendo la FCD de la distribución de cada variable en la secuencia elevada a la potencia de la longitud de la secuencia. No estoy seguro de cómo abordar este problema cuando la secuencia es de longitud aleatoria.

Answer 1

Dado que $N_m=k$ , donde $k\ge 1$ y $0\lt x\lt 1$ tenemos $$\Pr(M_m\le x)=x^k.$$ Ahora tenemos que decidir qué $\Pr(M_m\le x)$ es si $N_m=0$ . No existe una definición evidente. Sin mucha convicción, llamamos a esta probabilidad $1$ . Entonces $$\Pr(M_m\le x)=\sum_{k=0}^\infty e^{-m} \frac{m^k}{k!}x^k.$$ Reconocemos la suma como $e^{-m}e^{mx}$ .