Formulario "cerrado" para $\sum \frac{1}{n^n}$

Question

Hoy mismo estaba hablando con mi amigo sobre algunas series infinitas "chulas" y el valor al que convergen como el problema de Basilea, la fórmula de Madhava-Leibniz para $\pi/4, \log 2$ y series alternas similares, etc.

Una serie que surgió en nuestra discusión fue $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^n}$ .

Demostrar la convergencia de esta serie es trivial pero encontrar el valor al que converge me ha desafiado hasta ahora. Mathematica dice que esta serie converge a $\approx 1.29129$ .

Intenté buscar en Google sobre esta serie y encontré muy poca información sobre la misma (lo que en realidad es sorprendente ya que la serie parece lo suficientemente genial como para surgir en algún contexto).

Estábamos bromeando que debería tener algo que ver con $\pi,e,\phi,\gamma$ o al menos debe ser un número trascendental :-).

Mis preguntas son:

1. ¿A qué converge esta serie?
2. ¿Surge esta serie en algún contexto y hay alguna trivia interesante que conocer sobre esta serie?

La verdad es que me extraña un poco que no haya podido encontrar mucho sobre esta serie en Internet. (Al menos mi búsqueda en Google no ha dado ningún resultado interesante).

Answer 1

Sin duda, tiene que comprobar El sueño de un estudiante de segundo año .

Answer 2

Esta serie resulta ser igual a la integral de $1/x^x$ de $0$ à $1$ . Siento ser malo con la notación necesaria para los símbolos matemáticos aquí; pero si reescribes $x^{-x}$ como el exponencial de $x\log x$ Puedes expandirlo como una serie de taylor e integrar término por término; para encontrar que es igual a tu suma. Esto no da un valor explícito; pero creo que es una identidad bastante buena.

EDIT: Sólo pongo lo que has dicho en símbolos, probablemente por diversión.

$$\int_0^1 x^{-x} dx=\int_0^1 e^{-x \log x} dx$$

$$ e^{-x \log x} =\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^k\log^kx}{k!}$$

Pero como

$$\int_0^1 x^k \log^k x dx =(-1)^k \frac{k!}{(k+1)^{k+1}}$$

obtenemos

$$\int_0^1 x^{-x} dx= \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(k+1)^{k+1}}=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^k}$$

Answer 3

Teorema de Liouville implica que si su constante es irracional entonces es de hecho trascendental. Desgraciadamente, la forma trivial de demostrar la irracionalidad no funciona. Pensándolo bien, ¡el mismo problema nos impide aplicar el teorema de Liouville!