¿Cuántas disposiciones de las letras de RECURRENCERELACIÓN tienen las vocales en orden alfabético?

Question

Este es mi intento.

Primero ordenamos las vocales por orden alfabético:

A E E E I O U

Las siguientes cuñas indican dónde podemos colocar las consonantes

^ A ^ E ^ E ^ E ^ I ^ O ^ U ^

Puede haber más de una letra en cada cuña. También es posible que no haya ninguna letra en cada cuña.

Hay $\frac{18!}{10!8!}$ formas de elegir qué cuñas tienen consonantes. Entonces hay $\frac{10!}{4!2!2!}$ formas de colocar las letras en los lugares elegidos. Así, mi respuesta final es $\frac{18!}{10!8!}\frac{10!}{4!2!2!}$ formas.

Creo que mi problema es cómo conté el número de formas de colocar las letras en las cuñas. ¿Alguien puede ayudarme a solucionarlo?

Answer 1

No quieres colocar las consonantes entre las vocales como si estuvieras mezclando bolas en cajas, quieres colocar las vocales entre las consonantes en un orden específico.   Utilice marcadores de posición idénticos.

Considere, que la tarea se puede realizar reordenando las letras de $\rm R\color{blue}XC\color{blue}XRR\color{blue}XNC\color{blue}XR\color{blue}XL\color{blue}XT\color{blue}{XX}N$ y, a continuación, sustituir el $\rm\color{blue}X$ con las vocales en orden alfabético ( $\rm AEEEEIOU$ ).

¿De cuántas formas distintas se pueden reordenar 18 literales formados por 8 X, 4 R, 2 N, 2 C, 1 T, 1 L?

$$\dfrac{18!}{8! 4! 2! 2!}$$

Answer 2

Tengan paciencia conmigo.

Supongamos que hay $K$ formas de ordenar las vocales. Entonces, para cualquier disposición de las letras habrá $K$ formas equivalentes que tienen exactamente las mismas consonantes en las mismas posiciones pero con las vocales en lugares posiblemente diferentes. Así, por ejemplo, habrá $K$ posibles maneras de hacer palabras de la forma R-C-RR-NC-R-L-T--N donde - s son vocales.

Esto significa que si hay una forma de ordenar las vocales en orden alfabético y hay $N$ maneras de colocar las letras en cualquier orden, entonces hay $\frac NK$ formas de ordenar las letras con las vocales en orden alfabético.

Entonces, ¿qué es $K$ y lo que es $N$ .

Si se ordenara la materia habría $8!$ formas de organizar el $8$ vocales. Pero como hay $4$ Es hay $\frac {8!}{4!}$ formas de hacerlo. $K =\frac {8!}{4!}$ .

Asimismo, $N = \frac{18!}{4!4!2!2!}$ ya que hay $18$ cartas y $4$ Rs, $4$ Es, $2$ Cs, y $2$ Ns.

Así que la respuesta es $\frac {N}{K} = \frac { \frac{18!}{4!4!2!2!}}{\frac {8!}{4!}} = \frac {18!4!}{4!4!2!2!8!}= \frac{18!}{4!2!2!8!}$

Creo. Eso espero.

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De acuerdo, ineficiente pero de segunda manera.

Si el $R$ s fueran todos diferentes habría $18*17*16*15$ ranuras para colocarlos. Pero hay $4$ $R$ s para que haya $\frac{18*17*16*15}{4!} = \frac {18!}{14!4!} = {18 \choose 4}$ para colocar el $R$ . Hay ${14 \choose 2}$ formas de colocar el $2$ $N$ s. Y ${12 \choose 2}$ formas de colocar el $C$ s. Entonces $10*9$ formas de colocar el $T$ y $L$ . Quedan las vocales. Y deben estar en orden alfabético. Así que:

$\frac{18!}{14!4!}*\frac{14!}{12!2!}*\frac{12!}{10!2!}*10*9$

$=\frac{18!}{4!2!2!8!}$ .

Hmm. No veo cómo el libro puede ser correcto. Hay 18 lugares para poner la primera letra y 17 lugares para poner la segunda. Así que 17 debe ser un factor, incluso si he arruinado todo lo demás. La respuesta del libro no tiene factores primos mayores que 11$.

Answer 3

¿Cree que el libro es incorrecto?

Le ofrezco una tercera forma de responder a su pregunta. En primer lugar, ordena las vocales por orden alfabético y pon un espacio entre ellas y delante y detrás.

_a _e _e _e _e _i _o _u _

Esto nos deja 9 _ para poner las 10 consonantes rcrrncrltn.

Si pensamos que esos espacios en blanco son una variable vemos que en realidad sólo estamos resolviendo la ecuación diofantina

$\text{1) }a+b+c+d+e+f+g+h+i=10 , 10\geq a,b,c,d,e,f,g,h,i\geq0$

Donde una posible respuesta a este 10+0+0+0+0+0+0+0 sería equivalente a la disposición rcrrncrltnaeeeeiou. Así que vemos que el número de soluciones a 1) es el número de formas en que podemos meter esas consonantes rcrrncrltn entre esas vocales ordenadas.

Para obtener el número de soluciones recurrimos a las funciones generadoras. La función generadora para 1) es

$\left(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^{10}\right)^9$

Podemos ampliar esto usando Wolfram Alpha o cualquier CAS para obtener:

$1 + 9 x + 45 x^2 + 165 x^3 + 495 x^4 + 1287 x^5 + 3003 x^6 + 6435 x^7 + 12870 x^8 + 24310 x^9 + 43758 x^{10} +...+$

Elegimos el coeficiente de $x^{10}$ que es 43758. Ese es el número de formas de encajar rcrrncrltn entre y alrededor de esas vocales ordenadas. Pero no sólo queremos las consonantes en el orden de rcrrncrltn, las consonantes se pueden permutar y para calcular eso sólo usamos un simple $\frac{10!}{4!2!2!}$

Así que la respuesta a tu pregunta es:

$\frac{43758 \cdot 10!}{4! 2! 2!}=1654052400$

que coincide con las otras dos respuestas. Por lo tanto, diría que la respuesta del libro es incorrecta.