Dejemos que $f:[a,b]\to \mathbb R$ sea una función continua e inyectiva. Entonces $f$ es estrictamente monótona.
Mi intento :
Supongamos que $f(a)<f(b)$ (el otro caso es similar y $f(a)=f(b)$ es trivial). Supongamos que $f$ está limitada por $[m,M]$ y $f(x_1)=m$ y $f(x_2)=M$ . Demostraremos que $m=f(a)$ y $M=f(b)$ . Supongamos que no, entonces $[\min(x_1,x_2), \max(x_1,x_2)] \subset [a,b]$ y por lo tanto $f$ es continua también en este intervalo, y por tanto $f([\min(x_1,x_2), \max(x_1,x_2)])=[m,M]$ . Escoge cualquier $c : a<c<\min (x_1,x_2)$ . Diga $f(c)=y_1\in [m,M]$ . Pero por IVT en $[x_1,x_2]$ encontramos $\exists z\in [x_1,x_2]$ de tal manera que $f(z)=y_1$ contradiciendo la inyectividad, por lo que hemos demostrado nuestra afirmación. $c_1 \in [a,b] : f(a) <f(c_1)<f(b)$ . Supongamos que $\exists c_2 \in [a,b] : c_2>c_1$ pero $f(c_2)<f(c_1)$ (FTSOC).Por IVT en $[c_1,c_2] \subset [a,b]$ encontramos algunos $k : f(c_1)<k <f(c_2) : \exists k \in [c_1,c_2] \wedge f(k_1)=k$ . A continuación, aplique el IVT en $[a,c_1]\subset [a,b]$ para obtener algunos $k_2\in [a,c_1]:f(k_2)=k$ , contradiciendo la inyectividad. Hemos terminado.
Le agradecería que revisara mi prueba, ya que es la primera vez que escribo una prueba rigurosa sobre un problema de continuidad, también me gustaría ver alguna prueba más corta y mejor, para poder entender el arte de escribir pruebas como esta. Muchas gracias.
