"Casi uniformemente convergente" Implica "Uniformemente convergente en casi todas partes" . ¿Hay algún error?

Question

Encuentro que una prueba complicada muestra que "casi uniformemente convergente" implica "uniformemente convergente en casi todas partes". Sé que es incorrecto, pues hay una contraejemplo . ¿Alguien puede ayudarme porque esta prueba es errónea?

Me inspiré en la prueba que muestra que "casi uniformemente convergente" implica "convergente casi en todas partes":

Dice $\forall \epsilon, \exists B_\epsilon, \mu(B_\epsilon)<\epsilon$ fuera de la cual $f_n$ converge uniformemente a $f$ y demostrar $B\equiv\bigcap_{n\in\mathbb{N}}B_{\frac{1}{n}}$ es de medida cero. Creo que en este caso, fuera $B$ , $f_n \to f$ no sólo converge puntualmente (como dice la prueba) sino que también converge uniformemente (pues es cierto fuera de cualquier $B_\frac{1}{n}$ ). Dado que $\mu(B)=0$ implica $f_n \to f$ converge uniformemente en casi todas partes.

Answer 1

Considere un ejemplo sencillo:

$x^n \to 0$ casi uniformemente en $[0,1]$ . De hecho, para cada $\varepsilon > 0$ tenemos $x^n \to 0$ uniformemente en $B_\varepsilon^c = [0,1-\varepsilon]$ donde $B_\varepsilon = [1-\varepsilon, 1]$ tiene medida $\varepsilon$ .

Sin embargo, el $$B^c = \left(\bigcap_{n=1}^\infty B_{\frac1n}\right)^c = \left(\bigcap_{n=1}^\infty \left[1-\frac1n,1\right]\right)^c = \{1\}^c = [0,1\rangle$$ la convergencia $x^n \to 0$ no es uniforme. Sólo es uniforme en los segmentos $B_{\frac1n}^c=\left[0,1-\frac1n\right]$ .

Answer 2

Tienes que $\{f_n\}$ converge uniformemente en cada conjunto $B_{\frac 1n}^c$ . No hay ninguna razón para que converja uniformemente en $\displaystyle \bigcup_n B_{\frac 1n}^c$ .