entender los cuadrados de Steenrod

Question

Hay una función en $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ -cohomología llamada Steenrod cuadrando : $Sq^i:H^k(X,\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \to H^{k+i}(X,\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ . (Grupo de coeficientes suprimido de aquí en adelante.) Su axioma notable (además de cosas como la naturalidad), y la razón de su nombre, es que si $a\in H^k(X)$ entonces $Sq^k(a)=a \cup a \in H^{2k}(X)$ (este es el producto de la copa). Una aplicación especialmente interesante con la que me he encontrado es que, para un conjunto de vectores $E$ El $i^{th}$ La clase Stiefel-Whitney viene dada por $w_i(E)=\phi^{-1} \circ Sq^i \circ \phi(1)$ , donde $\phi$ es el isomorfismo de Thom.

No he encontrado mucho más que una caracterización axiomática para estos mapas de cuadratura, y me está costando entender lo que hacen. Me han dicho que $Sq^1$ corresponde al "homomorfismo de Bockstein" de la secuencia exacta $0 \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \to 0$ . Explícitamente, si denotamos por $C$ el grupo de cadenas del espacio $X$ aplicamos el functor covariante exacto $Hom(C,-)$ a esta secuencia exacta corta, tomar la cohomología, entonces los homomorfismos de conexión $H^i(X)\to H^i(X)$ son exactamente $Sq^1$ . Esto es bonito, pero sigue siendo algo misterioso para mí. ¿Alguien tiene alguna buena idea o referencia sobre cómo pensar en estos mapas?

Answer 1

Apoyo las referencias a Hatcher y a Mosher y Tangora, aunque también se puede encontrar el artículo original de Steenrod. Al menos los dos primeros comienzan enumerando los diversos axiomas de los cuadrados de Steenrod y luego los construyen.

La razón para axiomatizar las propiedades de los cuadrados de Steenrod es que es difícil entender la relación de las diferentes construcciones entre sí (pasé un semestre luchando con eso), y la construcción no es el punto. La construcción original de Steenrod, que calcula sobre símiles, tiene las mismas propiedades que la construcción CW-compleja de Hatcher (nota anterior), pero la primera es difícil de demostrar cosas con ella y la segunda es difícil de visualizar. Está bien hacerse con una u otra construcción, pero en última instancia los propios axiomas y la prueba de que determinan de forma única los mapas resultan más prácticos.

Dicho esto, me gusta la construcción de Hatcher porque utiliza el hecho de que los elementos de $H^n(X; G)$ son las mismas que las clases de homotopía de los mapas de X al espacio de Eilenberg-Maclane $K(G, n)$ , un complejo CW conectado cuyo enésimo grupo de homotopía es G y los demás son triviales. Entonces se puede entender cualquier operación de cohomología $H^n(-; G)\to H^m(-;H)$ como un mapa sobre dos espacios, $K(G,n)\to K(H,m)$ . [Puede hacer un $K(G,n)$ empezando por $n$ -células de límite trivial, adjuntando $n+1$ -células para hacer las relaciones correctas, y luego adjuntar continuamente células para acabar con los grupos de homotopía superiores. $K(\mathbb{Z},1)=S^1$ no necesita ninguna célula superior, pero $\mathbb{RP}^\infty$ es el habitual $K(\mathbb{Z}/2, 1$ ). Perdona si ya lo sabes]. Esto hace que sea fácil ver por qué las operaciones de cohomología en el mismo grupo tienen que aumentar la dimensión, y te da un espacio real para hacer cuadrados de Steenrod en.

Creo que ya se ha dicho lo siguiente, pero en resumen: Una de las razones por las que nos gustan las escuadras Steenrod es que conmutan con la suspensión, pero la suspensión mata a los productos de copa (aunque $Sq^n$ es el cuadrado del producto de la copa en $H^n(X)$ después de la suspensión el cuadrado del producto de la copa sería $Sq^{n+1}$ pero $Sq^n$ todavía está definida). También es impresionante que la suma $Sq^*$ de los distintos mapas forma una operación de anillo del anillo de cohomología. Es una buena idea mirar $\mathbb{RP}^\infty$ y hacer los cuadrados de Steenrod en eso, y pensar en el álgebra de Steenrod.

Answer 2

Para los cuadrados de Steenrod, recomiendo encarecidamente el primer par de capítulos del libro "Cohomology operations and applications in homotopy theory" de Mosher y Tangora. Está muy bien escrito (y ahora está disponible en una edición barata de Dover).

Answer 3

Si interpreto la petición de forma un poco diferente, diría que las operaciones de Steenrod en la cohomología de un espectro te hablan de las uniones de las celdas. Si $Sq^1 x = y$ , entonces una célula dual a $y$ está unido por un mapa de grado 2 mod 4 a una celda dual a $x$ . De la misma manera, $Sq^2 x = y$ nos dice que el mapa adjunto es $\eta$ , $Sq^4$ detecta $\nu$ y $Sq^8$ detecta $\sigma$ . Esto no va muy lejos, pero puede ayudar con la necesidad de "controlar realmente lo que están haciendo".

A continuación, supongamos que realmente te interesa la homotopía, no sólo la (co)homología. Una clase dual a una clase de homología en la imagen del homomorfismo de Hurewicz debe ser indecomponible bajo la acción del álgebra de Steenrod, por naturalidad respecto al mapa $S^n \longrightarrow X$ . Esto limita la homotopía de $X$ que puede ser detectado por el homomorfismo $\pi_* X \longrightarrow H_* X$ el homomorfismo $H^* X \longrightarrow H^* S^n$ sólo puede mapear indecomponibles de forma no trivial, ya que todas las clases en grados inferiores a $n$ debe ir a $0$ .

Luego están las relaciones. El hecho de que $Sq^n$ es descomponible cuando n no es una potencia de dos nos dice que si $y = Sq^n x$ debe haber otras clases entre $x$ y $y$ . EG, $Sq^3 x = y \neq 0$ nos dice que $Sq^2 x \neq 0$ también, ya que $Sq^3 = Sq^1 Sq^2$ . Así que nuestro espectro no puede tener sólo dos celdas, duales a $x$ y $y$ pero debe tener un subcociente de tres celdas con la celda superior unida por 2 (mod 4) a una celda unida por $\eta$ a la celda inferior.

O, si $Sq^2 Sq^2 x = y \neq 0$ entonces también debemos tener clases no nulas $Sq^1 x$ y $Sq^2 Sq^1 x$ , ya que $Sq^2 Sq^2 = Sq^1 Sq^2 Sq^1$ y viceversa, si $Sq^1 Sq^2 Sq^1 x = y \neq 0$ entonces $Sq^2 x \neq 0$ también. Esto conduce a una prueba fácil de que el espectro de Moore mod 2 $M$ no es un espectro anular, ya que $2 \pi_0M = 0$ pero $\pi_2 M = Z/4$ observando el obstáculo que supone adjuntar la célula superior de un espectro putativo con cohomología no nula abarcada por $x$ , $Sq^1 x$ , $Sq^2 Sq^1 x$ y $Sq^1 Sq^2 Sq^1 x$ . Además, el hecho de que sólo se pueda añadir una celda superior de este tipo si también se tiene una clase $Sq^2 x$ para que la célula superior pueda ser fijada por la suma de $Sq^1$ en $Sq^2 Sq^1 x$ y $Sq^2$ en $Sq^2 x$ muestra que $\eta^2$ (correspondiente a la ruta $Sq^2 Sq^2$ de abajo a arriba, debe estar en el soporte de Toda $\langle 2, \eta, 2\rangle$ correspondiente a la trayectoria $Sq^1$ , $Sq^2$ , $Sq^1$ de abajo a arriba.

De la misma manera, $y = Sq^1 Sq^2 x$ nos dice que la homotopía apoyada en una célula dual a $x$ puede ser actuado por $\text{v}_1$ para conseguir $y$ literalmente, si tenemos un $ku$ -y multiplicar por $\text{v}_1 \in ku_2$ o como el soporte Toda $\langle 2, \eta, -\rangle$ más en general. El hecho clave aquí es que $\text{v}_1 \in ku_2$ está en $\langle 2, \eta, 1_{ku} \rangle$ , donde $1_{ku} : S \longrightarrow ku$ es la unidad.

Igualmente, $Sq^2 Sq^1 Sq^2 x = y$ corresponde a la multiplicación por el generador de $ko_4$ , literalmente para $ko$ -módulos, o como paréntesis $\langle \eta, 2, \eta, - \rangle$ más en general. Aquí tienes que estar en una situación en la que $2 \nu = 0$ para formar el paréntesis, ya que $\langle \eta, 2, \eta \rangle = \{ 2\nu, 6 \nu\}$ . Esto indica que el papel de $\nu$ no es trivial en la teoría K real, a pesar de ir a $0$ bajo el homomorfismo $\pi_* S \longrightarrow \pi_* ko$ y a pesar de la cohomología de $ko$ que se induce a partir de la subálgebra $A(1)$ generado por $Sq^1$ y $Sq^2$ . La relación Adem $Sq^2 Sq^1 Sq^2 = Sq^1 Sq^4 + Sq^4 Sq^1$ muestra que $Sq^4$ debe actuar de forma no trivial si $Sq^2 Sq^1 Sq^2$ hace. Además, el hecho de que $A(1)//A(0)$ está atravesado por $1$ , $Sq^2$ , $Sq^1 Sq^2$ y $Sq^2Sq^1Sq^2$ nos dice (con un poco más de trabajo) que podemos construir $HZ$ como cuatro celdas $ko$ -módulo.

Una buena forma de organizar toda esta información es la secuencia espectral de Adams, que te dice que el mod $p$ cohomología de $X$ da una primera aproximación decente, $\text{Ext}_{A}(H^*X,F_p)$ a la homotopía de la $p$ -compleción de $X$ .

Answer 4

Sección 4L de Hatcher's Topología algebraica es una referencia descargable.