entender los cuadrados de Steenrod

Question

Hay una función en $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ -cohomología llamada Steenrod cuadrando : $Sq^i:H^k(X,\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \to H^{k+i}(X,\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ . (Grupo de coeficientes suprimido de aquí en adelante.) Su axioma notable (además de cosas como la naturalidad), y la razón de su nombre, es que si $a\in H^k(X)$ entonces $Sq^k(a)=a \cup a \in H^{2k}(X)$ (este es el producto de la copa). Una aplicación especialmente interesante con la que me he encontrado es que, para un conjunto de vectores $E$ El $i^{th}$ La clase Stiefel-Whitney viene dada por $w_i(E)=\phi^{-1} \circ Sq^i \circ \phi(1)$ , donde $\phi$ es el isomorfismo de Thom.

No he encontrado mucho más que una caracterización axiomática para estos mapas de cuadratura, y me está costando entender lo que hacen. Me han dicho que $Sq^1$ corresponde al "homomorfismo de Bockstein" de la secuencia exacta $0 \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \to 0$ . Explícitamente, si denotamos por $C$ el grupo de cadenas del espacio $X$ aplicamos el functor covariante exacto $Hom(C,-)$ a esta secuencia exacta corta, tomar la cohomología, entonces los homomorfismos de conexión $H^i(X)\to H^i(X)$ son exactamente $Sq^1$ . Esto es bonito, pero sigue siendo algo misterioso para mí. ¿Alguien tiene alguna buena idea o referencia sobre cómo pensar en estos mapas?

Answer 1

Esta es una forma de entenderlos. El cuadrado de la copa externa $a \otimes a \in H^{2n}(X \times X)$ de $a \in H^n(X)$ induce un mapa $f:X \times X \to K(Z_2, 2n)$ . Se puede demostrar que este mapa es un factor a través de un mapa $g:(X \times X) \times_{Z_2} EZ_2 \to K(2n)$ , donde $Z_2$ actúa sobre el producto permutando los factores y $EZ_2$ puede tomarse sólo como $S^\infty$ . Si desentrañas lo que esto significa, dice que nuestro mapa original $f$ era homotópico al mapa obtenido cambiando primero las coordenadas y aplicando después $f$ . También dice que esta homotopía, cuando se aplica dos veces para obtener una homotopía de $f$ a sí misma, es homotópica a la homotopía de identidad, y de forma similar tenemos toda una serie de homotopías de "coherencia" superiores. Ahora $X \times BZ_2$ mapas a $(X \times X) \times_{Z_2} EZ_2$ como la diagonal, por lo que obtenemos un mapa $X \times BZ2 \to K(2n)$ . Pero $BZ_2$ es simplemente $Z_2[t]$ , por lo que esto da una clase de cohomología $Sq(a) \in H^*(X)[t]$ de grado $2n$ . Si escribimos $Sq(a)=\sum s(i) t^i$ se puede demostrar que $s(i)=Sq^{n-i}a$ .

¿Qué significa esto? Bueno, si nuestro mapa $f$ en realidad fue invariante al cambiar los factores (lo que se podría pensar que debería ser, dado que parece estar definido simétricamente en los dos factores), podríamos tomar $g$ para ser sólo la proyección sobre $X \times X$ seguido de $f$ . Esto significaría que $Sq(a)$ viene de la simple proyección de la $BZ_2$ y luego usar $a^2$ es decir $Sq^n(a)=a^2$ y $Sq^i(a)=0$ para todos los demás $i$ . Así, la no evanescencia de los cuadrados inferiores de Steenrod mide de alguna manera cómo el producto de la copa, mientras que homotopía -comutativo (en términos de los mapas inducidos a los espacios de Eilenberg-MacLane), no puede ser enderezado para ser realmente conmutativo. De hecho, en el ejemplo universal $X=K(Z_2,n)$ el mapa $f$ es exactamente el mapa universal que representa el producto taza de dos clases de cohomología de grado $n$ .

Se pueden encontrar algunas notas algo escuetas al respecto aquí Véase, en particular, la parte III. (Lo siento, el enlace ya no existe).

Answer 2

Así es como explico los cuadrados de Steenrod a los geómetras. En primer lugar, si $X$ es un colector de dimensión $d$ entonces se pueden producir clases en $H^n(X)$ mediante mapas adecuados $f: V \to X$ donde $V$ es un colector de dimensión $d-n$ a través de muchos formalismos posibles - por ejemplo, la teoría de la intersección (el valor en un $i$ -es el recuento de los puntos de intersección), o utilizando la clase fundamental en homología y dualidad localmente finita, o las clases Thom, o como el pushforward $ f_*(1) $ donde $1$ es la clase de unidad en $H^0(V)$ . Tomando este último enfoque, supongamos $f$ es una inmersión y por tanto tiene un haz normal $\nu$ . Si $x = f_*(1) \in H^n(X)$ entonces $Sq^i(x) = f_*(w_i(\nu))$ . Esta es esencialmente la fórmula Wu.

Es decir, si las clases de cohomología están representadas por submanifolds, y por ejemplo el producto de copa refleja los datos de intersección, entonces los cuadrados de Steenrod recuerdan los datos del haz normal.

Answer 3

Puedes entender los cuadrados de forma puramente algebraica: deja que $R = F_2[x_1, x_2, \ldots, x_n]$ sea un anillo polinómico sobre el campo $F_2$ de $2$ elementos. Un homomorfismo de anillo $f$ en $R$ está completamente determinada por los valores de $f(x_i)$ y esos valores no están restringidos, ¿verdad? Así que define $f \colon R \to R$ por $f(x) = x + x^2$ para cada $x = x_i$ . (Desde $\operatorname{char}(F)=2$ En realidad, tenemos $f(x) = x + x^2$ para cada $F$ -combinación lineal de los $x_i$ También, es decir, se trata de una definición libre de fundamentos (¿"caballerosa"? -- definición). Entonces para cualquier polinomio homogéneo $p$ en $R$ tenemos $f(p) = p + p^2 + \text{other stuff}$ separando los componentes de $f(p)$ por grado, podemos escribir $f(p) = \sum Sq^i ( p )$ . Por ejemplo $f(x_1 x_2) = (x_1 + x_1^2) \cdot (x_2 + x_2^2) = (x_1 x_2) + (x_1^2 x_1 + x_2^2 x_1) + (x_1 x_2)^2$ Así que $Sq^1( x_1 x_2 ) = x_1 x_2 (x_1 + x_2)$ .

Se puede ampliar la definición del $Sq^i$ a los polinomios no homogéneos por aditividad si quieres. Esta definición de la $Sq^i$ es consistente para polinomios en un número arbitrario de variables (es decir, hay diagramas conmutativos que implican las inclusiones $F_2[x_1] \to F_2[x_1,x_2]$ etc.) Así que se puede visualizar toda el álgebra de Steenrod como un álgebra de endomorfismos sobre un anillo polinómico infinito.

Esta definición es suficiente para comprobar las relaciones Adem.

Topológicamente, este mecanismo define $Sq^i$ en $H^\ast( (\mathbb{RP}^\infty)^n, Z/2Z)$ . Entonces, por naturalidad, define el $Sq^i$ en las clases de cohomología que son pullbacks de esos anillos, es decir, tienes una descripción de cómo $Sq^i$ actúa sobre clases de cohomología definidas por haces vectoriales. Así es como pienso en ellos cuando juego con los espacios clasificatorios $BG$ .

Answer 4

El cuadrado de Steenrod es un ejemplo de operación cohomológica. Las operaciones de cohomología son transformaciones naturales del functor de cohomología a sí mismo. Hay algunos tipos diferentes, pero la más general es una inestable operación de cohomología. Se trata simplemente de una transformación natural de $E^k(-)$ a $E^l(-)$ para algunos fijos $k$ y $l$ . Aquí, uno considera los funtores de cohomología graduada como una familia de funtores de valor de conjunto, de modo que las funciones inducidas por estas operaciones inestables no respetan necesariamente ninguna estructura de $E^k(X)$ .

Sin embargo, algunos lo hacen. En particular, hay aditivo operaciones de cohomología. Son operaciones inestables que son homomorfismos de grupos abelianos.

En particular, para cualquier teoría de cohomología multiplicativa (en particular, cohomología ordinaria o cohomología ordinaria con $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ coeficientes) están los poder operaciones: $x \to x^k$ . Estos son aditivos si el anillo de coeficientes tiene la característica correcta. En particular, el cuadrado es aditivo en $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ cohomología.

Dada una operación de cohomología inestable $r: E^k(-) \to E^l(-)$ hay una manera de fabricar una nueva operación $\Omega r: \tilde{E}^{k-1} \to \tilde{E}^{l-1}(-)$ utilizando el isomorfismo de suspensión (donde la tilde denota que se trata de grupos reducidos):

$E^{k-1}(X) \cong E^k(\Sigma X) \to E^l(\Sigma X) \cong E^{l-1}(X)$

Esto es bastante sencillo y es una forma barata de producir más operaciones. Cuando se aplica a las operaciones de potencia no produce casi nada, ya que la estructura de anillos en la cohomología de una suspensión es trivial: aparte de la inclusión del anillo de coeficientes, todos los productos son cero.

Lo que es una cuestión interesante es si este bucle puede invertirse o no. Es decir, si $r$ es una operación inestable, cuando hay otra operación $s$ tal que $\Omega s = r$ ? ¿Y cuántas hay? Lo más interesante es la cuestión de cuándo hay una cadena infinita de operaciones, $(r_k)$ tal que $\Omega r_k = r_{k-1}$ . Cuando esto ocurre, decimos que $r$ proviene de un estable (hay una ligera ambigüedad en cuanto a cuándo la secuencia $(r_k)$ es una operación estable o simplemente proviene de una operación estable).

Una condición necesaria es que $r$ ser aditivo. En general, esto no es suficiente. Por ejemplo, las operaciones de Adams en $K$ -teoría son aditivos, pero todos menos dos no son estables.

Sin embargo, para la cohomología ordinaria con coeficientes en un campo, la aditividad es suficiente para que una operación provenga de una operación estable. Además, existe una secuencia única para cada operación aditiva. Esto significa que la operación de cuadratura en $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ La cohomología tiene una secuencia de operaciones "superiores" que se reducen al cuadrado. Son los cuadrados de Steenrod.

La secuencia se detiene con la cuadratura real (más bien, se vuelve cero después de ese punto) porque, como se comentó anteriormente, las operaciones de potencia hacen un bucle a cero.

Una característica importante de estas operaciones es que dan las condiciones necesarias para que un espectro sea un espectro de suspensión de un espacio. Si un espectro es un espectro de suspensión, entonces su $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ -la cohomología debe ser un anillo. Pero eso no es suficiente, también debe tener la propiedad de que, en las dimensiones adecuadas, las operaciones de Steenrod actúan por cuadratura. (Por supuesto, esto es necesario pero no suficiente).

Answer 5

En el capítulo 3 de mi libro (inacabado) doy una explicación intuitiva del origen de las operaciones de Steenrod en la cohomología, de las operaciones de Dyer-Lashof en la homología de los espacios de bucles infinitos y de las operaciones de Steenrod en la cohomología de las álgebras de Hopf cocomutativas. Cartilla de Secuencia Espectral Adams . A continuación, en el capítulo 4, defino las condiciones precisas que se necesitan y los teoremas resultantes, siguiendo las indicaciones de Peter May Un enfoque algebraico general de las operaciones de Steenrod . El papel de las simetrías en la producción de las operaciones en primer lugar, y luego en la producción de sus propiedades, es el enfoque. Un punto clave que May hace es que todas estas operaciones tienen la misma fuente, una categoría que llamo $Sym_\infty$ en mi cartilla. Es una categoría de DGAs con alguna estructura adicional que codifica las simetrías.

Otra hermosa manera de ver las operaciones de Steenrod es a través del dual del álgebra de Steenrod. Se trata del álgebra de Hopf de las funciones coordenadas sobre los automorfismos del grupo aditivo. Precisamente, dejemos que $F_2[[x]]$ sea el anillo de la serie de potencias en una variable $x$ con un coproducto primitivo $\psi(x) = 1 \otimes x + x \otimes 1$ , representando el núcleo del grupo aditivo.

El automorfismo que envía $x$ a una serie de potencias $f = \sum a_i x^i$ se desplaza con $\psi$ si los únicos coeficientes no nulos son los que tienen $i$ una potencia de dos, por lo que podemos escribir un automorfismo $f$ como $\sum c_i x^{2^i}$ (con $c_0=1$ por supuesto). Dejemos que $\xi_i(f) = c_i$ . No existen relaciones entre estas funciones de coordenadas $\xi_i$ , por lo que obtenemos un anillo polinómico $F_2[\xi_1, \xi_2,\ldots]$ de funciones sobre el grupo de automorfismos.

Ahora considere $\xi_n(f\circ g)$ . Calculamos fácilmente que $\xi_n(f \circ g) = \sum_{i+j=n} \xi_i(f) \xi_j(g)^{2^i}$ de modo que el coproducto sobre estas funciones de coordenadas es $\psi(\xi_n) = \sum \xi_i \otimes \xi_j^{2^i}$ , que es el álgebra dual de Steenrod, como demostró Milnor en 1956. (Nótese que estas $\xi_i%$ son los conjugados de los generadores de Milnor, por lo que el coproducto se invierte). Jack Morava me mostró esta derivación del álgebra dual de Steenrod.