Por qué se toma el valor RMS para calcular la incertidumbre en los errores aleatorios

Question

Mi libro de texto menciona el uso de RMS (Root Mean Square) para calcular el valor de la incertidumbre.

"Los errores aleatorios se tratan mediante un análisis estadístico. Supongamos que un gran número ( $N$ ) de mediciones de una cantidad $Q$ dar valores $$Q_1, Q_2, Q_3,…Q_N.$$ Dejemos que $Q$ sea el valor medio de estas mediciones. $$\langle Q\rangle = \sum_{i=1}^n \frac{Q_i}{N} $$ y que $d$ sea la desviación en las mediciones, $$d=\sqrt\frac{\sum_{i=1}^n(Q-\langle Q\rangle)^2}{N}$$ El resultado de la medición se cita (suponiendo que se han eliminado los errores sistemáticos eliminados) como,

$$Q = \langle Q\rangle +d$$ Mi pregunta es, ¿cómo llegamos a la expresión para $d$ en primer lugar?

Answer 1

Tal vez dos ejemplos aclaren las cosas

1. Datos 1,2,3

La media es $$<Q> = \sum_{i=1}^n \frac{Q_i}{N} = \frac{6}{3} = 2$$

La fórmula de la desviación estándar es una forma de calcular una "medida de dispersión", es decir, una indicación de la dispersión de los datos. También puede ser una indicación de los errores en la medición.

Dado que algunos datos son inferiores a la media y otros superiores, se incluye el cuadrado antes de la raíz cuadrada para que todas las diferencias con respecto a la media sean positivas, ya que de lo contrario podríamos estar utilizando una fórmula que diera una dispersión de cero.

$$d=\sqrt\frac{\sum_{i=1}^n(Q-<Q>)^2}{N} =\sqrt\frac{(-1)^2+0^2+(1)^2}{3} = 0.8165$$

2. Datos 10,20,30

La media es ahora $20$ y $d$ resulta ser $8.165$

La segunda serie de datos está más repartida, o el error en las mediciones es mayor.

En cada caso, es probable que el valor "verdadero" de la cosa que se mide esté en el rango $Q = <Q> \pm d$

En el segundo ejemplo, si una teoría predijera que $Q=40$ y las mediciones habían dado $20 \pm 8.165$ la probabilidad de que el $40$ podría ser cierto, se puede encontrar entonces utilizando una distribución normal y encontrando la probabilidad de que una medición sea $\frac{20}{8.165}$ es decir $2.45$ desviaciones estándar o $2.45d$ de la media.

Si no se conoce la verdadera desviación estándar, sino que se estima a partir de los datos, hay un ajuste adicional, pero eso es un tecnicismo...

Answer 2

Cuando los errores que contribuyen a las fluctuaciones de un valor medido son normales en su distribución, un número infinito de mediciones dará lugar a una distribución gaussiana. La media $\mu$ y la desviación estándar $\sigma$ (raíz cuadrada de la varianza) caracterizan la distribución y su incertidumbre.

Para un número finito de mediciones sobre valores $V_j$ donde las contribuciones al error en $V_j$ siguen siendo normales en su distribución, utilizamos la media $\langle V \rangle$ y la incertidumbre estándar $\Delta V$ de la distribución para definir el valor esperado y su incertidumbre global. Este es el informe que se presenta.

El promedio se acerca a la media $\langle V \rangle \rightarrow \mu$ y la incertidumbre estándar se aproxima a la desviación estándar $\Delta V \rightarrow \sigma$ a medida que el número de mediciones que hacemos se acerca al infinito. Podemos caracterizar la aproximación utilizando la incertidumbre estándar de la media $S_m$ . Otras consideraciones conducen a enfoques como la prueba t para la confianza de la media medida en relación con la media verdadera.

Cuando los errores que contribuyen a $V_j$ no son normales en su distribución, surgen complejidades adicionales. Además, cuando tenemos que combinar varios valores mediante una ecuación, tenemos que considerar cómo debemos propagar las incertidumbres de los valores medidos. Ambos temas son expansiones de tu pregunta inicial.

Una referencia exhaustiva para apreciar las incertidumbres o errores en las mediciones puede encontrarse en el Guía de incertidumbres en las mediciones (GUM).