¿Qué es el "yoga de los motivos"?

Question

Hay algunas cosas sobre la geometría que muestran por qué un punto de vista motivacional es profundo e importante. Una buena indicación es que Grothendieck y otros tuvieron que inventar algunas conjeturas algebraico-geométricas importantes y nuevas sólo para formular la definición de los motivos .

Hay cosas que sé sobre los motivos a cierto nivel, por ejemplo, sé lo que t l anillo de variedades de Grothendieck es o, a grandes rasgos, cuáles son los ingredientes de la definición de los motivos.

Pero, ¿cómo explicarías el El yoga de los motivos de Grothendieck ? ¿A qué se refiere?

Answer 1

En una frase: la teoría de las teorías de cohomología sobre variedades algebraicas y la idea de que existe una cosa así universal.

Por supuesto, esta no es una respuesta muy satisfactoria, a menos que especifiquemos qué es una teoría de cohomología. Algunos ejemplos son las cohomologías l-ádicas, la cohomología singular, la cohomología de Rham, la cohomología de Deligne, la cohomología rígida (o de Monsky-Washnitzer). La idea es que cualquier cómputo que parezca sostenerse en todas estas bonitas teorías de cohomología debería ser motivacional (lo que significa que debería obtenerse del cómputo análogo en la categoría (conjetural) de motivos mediante el functor de realización adecuado): ejemplo de tales cómputos son los que implican sólo la teoría de la intersección (utilizando productos de copa de clases de ciclos). Conjeturalmente, la teoría de los motivos está determinada esencialmente por la teoría de la intersección de los esquemas, mientras que los grupos superiores de Chow (es decir, la cohomología motivacional) deberían ser para los motivos lo que la cohomología de Deligne es para las estructuras mixtas de Hodge.

1) Motivos puros --- Históricamente, se pensaba en una teoría de cohomología de este tipo que se comportara como cohomología singular (con coeficientes racionales) o cohomología de Rham sobre variedades lisas y proyectivas sobre números complejos, de modo que tendríamos clases de ciclos, la fórmula de Künneth, los mapas de Gysin así como la fórmula del haz proyectivo (de ahí la dualidad de Poincaré), y, como consecuencia, una fórmula de punto fijo de Lefschetz (es decir, todo lo necesario para hacer teoría de intersecciones allí). Si la teoría de la cohomología toma sus valores en la categoría de espacios vectoriales (graduados) sobre algún campo de característica cero, esto condujo a la noción de cohomología de Weil (se llamaron así en honor a Weil por su idea de que la existencia de tal cohomología para variedades suaves y proyectivas sobre un campo de característica p>0 implicaría las conjeturas de Weil, es decir, el buen comportamiento de las funciones zeta asociadas a la acción de Frobenius). Sin embargo, no existe ninguna cohomología universal de Weil: sobre campos finitos, la existencia de cohomologías l-ádicas implicaría que esta teoría universal sería con coeficientes en la categoría de espacios vectoriales Q, y se sabe que no existe ninguna cohomología Q-lineal de Weil para variedades sobre un campo k que contenga una extensión no trivial del campo con p elementos (esto se deduce de un cálculo de Serre que muestra que las curvas elípticas supersingulares sobre tal k no pueden realizarse con coeficientes Q-lineales). (Una de) las observaciones de Grothendieck fue que, en la práctica, las teorías de cohomología de Weil toman su valor en categorías más complejas, a saber, categorías tannakianas (por ejemplo, representaciones de Galois, estructuras mixtas de Hodge), lo que le hizo conjeturar la existencia de una teoría de cohomología universal con valores en una categoría tannakiana. Su candidato para esta categoría tannakiana universal es la categoría de motivos puros hasta la equivalencia numérica (que está completamente determinada por la teoría de la intersección en los grupos clásicos de Chow de variedades suaves y proyectivas sobre un campo).

2) Motivos mixtos --- Pero esto es sólo una pequeña parte de la historia (o, si se quiere, del yoga). Las teorías de cohomología, como la cohomología l-ádica o la cohomología de Rham, no se definen sólo para variedades lisas y proyectivas, y no vienen solas: vienen con un montón de categorías derivadas de coeficientes (en nuestros ejemplos, las láminas l-ádicas y los módulos D), que tienen propiedades de funtorialidad muy fuertes, que reflejan dualidades y datos de encolado (que expresan descomposiciones en un subesquema cerrado y su complemento abierto), así como bonitas propiedades de descenso (principalmente el descenso étale y el descenso propio). La idea es que cualquier cálculo o construcción que implique sólo estas funtorialidades (conocidas como las "6 operaciones de Grothendieck") y que se mantenga en todos los ejemplos conocidos debería ser también motivacional (en particular, la teoría de la intersección debería aparecer de forma natural a partir de ahí; las estructuras no triviales en los grupos de cohomología, como las filtraciones de peso, por ejemplo, también deberían explicarse mediante estas funtorialidades). Me refiero a que debería existir una teoría de las láminas motivacionales que debería ser el sistema universal de coeficientes M sobre esquemas (no necesariamente sobre un campo). Dado otro sistema de coeficientes A (como las láminas l-ádicas) deberíamos obtener funtores exactos tensoriales M(X) --> A(X) (para cualquier esquema X) que sean compatibles con las 6 operaciones de Grothendieck (es decir, pullbacks, imágenes directas con o sin soporte compacto, etc). También se conjetura que estos funtores de realización son fieles. Se espera que todos los mapas reguladores provengan de tales funtores de realización. Por último, la categoría de motivos puros mencionada anteriormente debería ser una subcategoría tensorial completa de la categoría abeliana de motivos mixtos sobre el campo terreno.

La existencia de tales gavillas motívicas ha sido conjeturada de una u otra manera por Grothendieck, Deligne y Beilinson. Sin embargo, como ellos mismos advirtieron, podemos debilitar estos requisitos sustituyendo sustituyendo las categorías de coeficientes por sus categorías derivadas D(A), y sólo exigir que tengamos categorías trianguladas de motivos mixtos sobre esquemas (sin pedir que sean categorías derivadas de una categoría abeliana). La buena noticia es entonces que, si permitimos que estas categorías de coeficientes sean categorías trianguladas abstractas, entonces tal teoría functorial universal de motivos mixtos sobre esquemas arbitrarios no está completamente fuera de alcance: el trabajo de Voevodsky, Suslin, Levine, Morel, Ayoub y al. sobre la teoría de homotopía de esquemas la hace ya bastante cercana a nosotros: esta teoría permite producir categorías trianguladas DM(X) tales que los funtores tensoriales triangulados DM(X) --> D(A)(X) existen realmente (y son compatibles con las 6 operaciones de Grothendieck), mientras que los Hom's en DM computan exactamente grupos superiores de Chow (pero no sabemos si son conservativos, como se espera). De ahí que una parte importante del Yoga se esté convirtiendo hoy en día en matemática real, a través de la teoría de homotopía de esquemas.

Answer 2

Así que esta es una pregunta loca, pero intentaré dar al menos una respuesta parcial. Este pregunta sobre el regulador Beilinson también es relevante, y esto también es un intento de responder a los comentarios de Ilya allí. Pido disculpas por simplificar y pasar por alto algunos detalles, véase las referencias para la historia completa.

En primer lugar, algunas referencias: Existe una exposición pausada, pero no exenta de contenido, de Kahn sobre el yoga de los motivos ici (en francés). Para la idea de Grothendieck sobre los motivos puros, véase Scholl: Motivos clásicos, disponible en su página web en formato dvi comprimido. Para los motivos mixtos, vea esto artículo de encuesta de Levine . También hay mucho material en los volúmenes de Motives, editados por Jannsen, Kleiman y Serre, aquí está el Página de Google Books . Por último, recomiendo encarecidamente el libro de André: Introduction aux motifs - tiene muchos antecedentes y "yoga", así como declaraciones precisas sobre lo que se sabe y lo que se conjetura.

Motivos puros

La forma estándar de explicar qué son los motivos es decir que forman una "teoría cohomológica universal". Para precisar un poco más, empecemos con los motivos puros. Fijamos un campo base y consideramos la categoría de variedades proyectivas lisas y varios funtores de cohomología sobre esta categoría. La noción precisa de funtor de cohomología en este contexto viene dada por los axiomas para una teoría de cohomología de Weil, véase esto entrada de mi blog para más detalles.

Hay (al menos) tres puntos clave que mencionar aquí: uno es que las cohomologías a Weil son teorías "geométricas", en contraposición a las "absolutas". Por ejemplo, al considerar la cohomología etale, estamos considerando el functor dado por el cambio de base de la variedad al cierre absoluto del campo base, y luego tomando la cohomología de la gavilla con respecto a la gavilla constante Z/l para algún primo l, en la topología etale. La teoría "absoluta" sería aquí la misma, pero sin cambio de base al principio. En la literatura clásica, y en la teoría de números, la versión geométrica es la más importante, en parte porque lleva una acción del grupo de Galois del campo base, y por tanto da lugar a representaciones de Galois. Por otro lado, la versión absoluta es importante, por ejemplo, en el trabajo de Rost y Voevodsky sobre la conjetura de Bloch-Kato, y en los teoremas de comparación con la cohomología motivacional. Del mismo modo, parece que las teorías de cohomología en general vienen en pares geométricos/absolutos.

El segundo punto clave a mencionar es que los grupos de cohomología de Weil vienen con "estructura extra", como la acción de Galois o la estructura de Hodge. Por ejemplo, la cohomología l-ádica toma valores en la categoría de espacios vectoriales l-ádicos con acción de Galois, y la cohomología de Betti toma valores en una categoría adecuada de estructuras de Hodge. Una buena referencia para algo de esto es Deligne: Hodge I, en el volumen ICM 1970.

El tercer punto clave es que las teorías de cohomología de Weil son siempre "ordinarias" en algún sentido, es decir, en algún marco de teorías de cohomología orientada corresponderían a la ley de grupo formal aditiva (véase Lurie: Estudio sobre la cohomología elíptica ). Si permitiéramos teorías de cohomología más generales (orientadas), la cohomología universal no sería motivos puros, sino cobordismo algebraico.

Ahora bien, todas estas teorías de cohomología son funtores sobre la categoría de variedades proyectivas lisas, y la idea es que todas ellas deberían factorizar a través de la categoría de motivos puros, y que la categoría de motivos puros debería ser universal con esta propiedad. Sabemos cómo construir la categoría de motivos puros, pero hay una elección implicada, a saber, la elección de una relación de equivalencia en los ciclos algebraicos, véase el artículo de Scholl anterior para más detalles. Para muchos propósitos, la elección más natural es la equivalencia racional, y la noción resultante de motivos puros suele llamarse motivos de Chow. Para una afirmación precisa sobre la propiedad universal de los motivos de Chow, véase André, página 36: a grandes rasgos (omitiendo algunos detalles), cualquier functor contravariante monoidal sensible sobre la categoría de variedades proyectivas lisas, con valores en una categoría tensorial rígida, es un factor único sobre la categoría de motivos de Chow.

Ahora, en cuanto a las realizaciones planteadas por Ilya en la pregunta sobre los reguladores. Dada una categoría de motivos puros con una propiedad universal como la anterior, debe haber funtores de la categoría de motivos a la categoría de estructuras de Hodge (puras), a la categoría de espacios vectoriales Q_l con acción de Galois, etc, simplemente por la propiedad universal. Estos funtores se llaman funtores de realización.

Motivos mixtos

Parece que todos los funtores de cohomología que uno considera típicamente pueden definirse no sólo para variedades proyectivas lisas, sino también para variedades más generales. La noción correcta de cohomología aquí parece estar axiomatizada por alguna versión de los axiomas de Bloch-Ogus. Se podría esperar de nuevo una categoría que tenga una propiedad universal similar a la anterior, pero ahora con respecto a todas las variedades. Esta categoría sería la categoría de motivos mixtos, y en el marco conjetural estándar, uno espera que sea una categoría abeliana. No está claro si esta categoría existe o no, pero véase el estudio de Levine más arriba para una discusión de algunos intentos de construirla, por Nori y otros. Si tuviéramos tal categoría, una propiedad universal adecuada implicaría que hay funtores de realización de nuevo, ahora a categorías "mixtas", por ejemplo estructuras de Hodge mixtas. Los funtores de realización inducirían mapas sobre los grupos Ext, y un mapa de este tipo adecuado sería el regulador de Beilinson, desde algunos grupos Ext en la categoría de motivos mixtos (es decir, grupos de cohomología motivacional) a los grupos Ext que pueden identificarse con la cohomología de Deligne-Beilinson.

No tenemos la categoría abeliana de los motivos mixtos, pero tenemos un excelente candidato para su categoría derivada: se trata de las categorías trianguladas de motivos de Voevodsky. También se presentan muy bien en el estudio de Levine. Un desarrollo reciente muy bonito es el trabajo de Déglise y Cisinski, en el que construyen estas categorías trianguladas sobre esquemas de base muy generales (creo que el trabajo original de Voevodsky se centró principalmente en campos, al menos sólo demostró buenas propiedades sobre campos).

Para terminar, volviendo a conectar con las conjeturas de Beilinson, hay un trabajo muy reciente de Jakob Scholbach (tesis doctoral presentada, quizá en el arXiv pronto) que parece indicar que las conjeturas de Beilinson deberían formularse realmente en el entorno de la categoría Déglise-Cisinski de motivos sobre Z, en lugar del entorno clásico de motivos sobre Q.

El yoga de los motivos implica mucho más de lo que he mencionado hasta ahora, por ejemplo, cosas relacionadas con los períodos y los valores especiales de las funciones L, las conjeturas estándar, y la idea de los grupos de Galois motivacionales (y quizá incluso "cósmicos"), pero todo esto podría ser el tema de otra pregunta, otro día :-)

Answer 3

Yo también recomendaría mucho el libro de André, y varios artículos de Deligne, especialmente "Hodge I", "Valeurs de fonctions de L et Périods Integrales", "A quoi servent les motifs?". He encontrado Diapositivas de Nekovar y la de Barbieri-Viale "Panfleto" También es útil.

Editar: Goncalo Tabuada realizó una charla sobre "la construcción de las categorías de motivos no conmutativos (puros y mixtos) en el espíritu del programa de geometría algebraica no conmutativa de Drinfeld Kontsevich. En el proceso, presentaré la primera caracterización conceptual de la teoría K superior de Quillen desde el trabajo fundacional de Quillen en los años 70" ( enlace ). Editar : Nuevos preprints ( 1 , 2 )

Editar : Notas inéditas de Nori sobre los motivos.

Answer 4

Creo que un sentido profundo de este Yoga es que "la visión de Grothendieck de los motivos era como una teoría universal de la cohomolgia pero también como versión de mayor dimensión de la teoría de Galois ". Se puede ver esto por ejemplos por sus ejemplos de 0 dimensiones, el llamado Motivos de Artin y cómo se "entienden" los motivos a través de Grupos de Galois motivados . En el libro de André, hay muchas observaciones galoisianas sobre los motivos.

Del mismo modo que hay esquemas de todas las dimensiones, hay fibraciones de todas las dimensiones relativas sobre un esquema $S$ y no sólo la dimensión relativa 0 de las coberturas. Cuando $S=Spec(F)$ son "variedades" definidas por ecuaciones algebraicas en más de una variable. En esta dirección vertical, Grothendieck también dio una generalización parcial de la teoría de Galois, la " $l$ -cohomología de las fibraciones. La cohomología, o más bien la homología, de un espacio topológico había sido inventada por Poincaré, y ya en los años 40, André Weil se interesó por adaptarla a la geometría algebraica. Tras los trabajos pioneros de Jean-Pierre Serre, Grothendieck realizó esta adaptación, asociando a toda fibración de un esquema $S$ le site $l$ -espacios de cohomología adica que son representaciones lineales continuas del grupo fundamental $π_S$ Llamamos a estas representaciones de Galois de $S$ . Tendríamos una generalización completa de la teoría de Galois si pudiéramos retroceder desde éstas hasta las variedades algebraicas; éste es el objeto de la teoría de Grothendieck de "motivos que, aún hoy, sigue siendo una conjetura. Fuera de la dimensión relativa 0, sólo conocemos el caso de las variedades llamadas "abelianas" conjeturadas por John Tate y demostradas por Gerd Faltings en 1983: cuando dos variedades abelianas tienen la misma $l$ -cohomología adica, cada una parametriza a la otra. Pero si es cierto que la categoría de fibrados, o más bien de "motivos", sobre un esquema base $S$ es equivalente a la de las representaciones de Galois de $S$ La determinación de estas representaciones y sus relaciones mutuas es crucial. La teoría de Galois y la aritmética, Lafforgue y Florence .

Mi propia lectura de Récoltes et semailles de Grothendieck me sugirió que eran los grupos de Galois motivacionales los que estaban en el centro del yoga y no los motivos en sí mismos. La naturaleza de Galois de este yoga es importante ya que la propia búsqueda de la más profunda "invariante de la forma", dice Grothendieck: Ainsi, le motif m'apparait comme le plus profond "invariant de la forme" qu'on a su associer jusqu'à présent à une variété algébrique, mis à part son "groupe fondamental motivique". Ambos invariantes representan para mí las "sombras" de un "tipo de homotopía motivacional" que queda por describir, cosechar y sembrar". Debido a este yoga se trata de la invariante galoisiana más profunda es para mí que no Motivos como la teoría de la cohomología, pero la teoría de Galois de una teoría de la homotopía o un pariente superior es la naturaleza de este yoga, todavía falta una teoría motivacional para la homotopía de Grothendieck desarrollado en las cartas de Lawrence Breen.

Para terminar, me gustaría citar lo siguiente: "El sueño roto de Grothendieck era desarrollar una teoría de los motivos que, en particular, unificara la teoría de Galois y la topología". Un día de locura, Cartier.

En torno a la "teoría de la ambigüedad", desde Galois hasta nuestros días, Y André

Grupos de Galois motivados y períodos, Y André.

Nota: Algunas ediciones aparecerán más tarde, hay algunas cosas que aún deben ser explicadas en detalle, pero es suficiente por hoy.