Condiciones iniciales de la ecuación de onda

Question

Una de las condiciones iniciales comunes dadas para la ecuación de onda,

$$\frac{\partial^2 p}{\partial t^2} - \nabla^2 p = 0,$$

es $p(\overline{x},t=0) =0$ y $p^\prime (\overline{x},t=0) =0$ . ¿Cuál es la interpretación física de la condición inicial $p^\prime (\overline{x}, t=0) =0$ ?

Edición 1: Me he equivocado en las condiciones iniciales. Ahora están arregladas.

Edición 2: Ya que alguien preguntó, se trata de una onda acústica.

Answer 1

Al igual que en la descripción de la trayectoria de un objeto sometido a una fuerza constante (como una manzana que cae bajo la gravedad), tenemos una ecuación diferencial que describe cómo se mueve $F=ma=-mg$ pero el movimiento completo viene dado por $x(t) = x_0 + x'_0 t -\frac{1}{2}gt^2$ . El hecho de que se trate de una ecuación diferencial de segundo orden significa que se necesitan 2 parámetros iniciales, la posición inicial y la velocidad inicial.

Ahora, para la cuerda, cada punto de la cuerda tiene su propia ecuación diferencial de segundo orden, por lo que cada punto necesita una posición inicial y una velocidad inicial para describir y determinar completamente el movimiento.

Como nota al margen creo que deberías comprobar las condiciones iniciales que das, porque si la cuerda es plana al principio, y no se mueve, entonces no se moverá. Una condición inicial mucho más común sería algo como $p_1(x,t=0) = \text{sin}(x),$ y $p_1'(x,t=0) = 0$ . Esto describiría una cuerda en forma de onda sinusoidal inicial, sin velocidad inicial.

Del mismo modo, podría tener $p_2(x,t=0) = 0,$ y $p_2'(x,t=0) = \text{sin}(x)$ . Se trataría de una cuerda plana con una velocidad inicial distribuida como una onda sinusoidal. Estos dos problemas están realmente relacionados entre sí por un desplazamiento temporal de $\Delta t = -\frac{\pi}{2}$ con las correspondientes soluciones de $p_1(x,t) = \text{sin}(x)\text{cos}(t)$ y $p_2(x,t) = \text{sin}(x)\text{sin}(t)$

Gracias a @MichaelSeifert por el perspicaz añadido en los comentarios (que añado aquí). Mis soluciones son específicamente para una cuerda que tiene ambos extremos atados en $p(0,t) = p(\pi,t) = 0$ . Por lo tanto, no hay perturbaciones que entren desde el exterior, y la cuerda no comenzará a moverse. Si en cambio tuviéramos un lado se agita hacia arriba y hacia abajo en el tiempo, $p(0,t) = f(t)$ esta ya no sería la moción adecuada. Un buen ejemplo de este tipo de fenómenos sería un altavoz en un lado de un tubo abierto, está conduciendo las oscilaciones a $x = 0$ que luego se dispersan por el medio. En este caso, aunque la cuerda no se moviera y fuera plana, empezaría a moverse debido a las perturbaciones que entran en la región de interés.

Digo cuerda porque para mí es la forma más sencilla de visualizar las oscilaciones en 1 dimensión, pero si esto fuera en 3 dimensiones explicaría igual de bien las ondas sonoras en el aire.

Answer 2

Consideremos una cadena de longitud $L$ y la masa $M$ y la densidad homogénea $\lambda = M / L$ y la tensión $F$ Obedeciendo a la ecuación de onda \begin{equation}\tag{1} \frac{1}{v^2} \, \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} - \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = 0, \end{equation} donde $v = \sqrt{F/\lambda}$ es la velocidad de la onda en la cuerda. La solución general de (1) es ésta: \begin{equation}\tag{2} y(x, t) = \frac{1}{2} \big(\mathcal{Y}(x - v t) + \mathcal{Y}(x + v t) \big) + \frac{1}{2 v} \int_{x - v t}^{x + v t} \mathcal{V}(u) \, du, \end{equation} donde $\mathcal{Y}(x) \equiv y(x, 0)$ es el desplazamiento inicial de la cadena (para cada $x$ ) y $\mathcal{V}(x) \equiv \dot{y}(x, 0)$ es el velocidad inicial de cada uno de sus elementos. $\mathcal{Y}(x)$ y $\mathcal{V}(x)$ son arbitrarios continuo y funciones derivables.

Si la cadena se fija en $x = 0$ : $y(0, t) = 0$ entonces $\mathcal{Y}(x)$ y $\mathcal{V}(x)$ debe ser impar funciones: $\mathcal{Y}(-v t) = - \mathcal{Y}(v t)$ . Por ejemplo: $\mathcal{Y}(x) = A \sin{(k \, x)}$ y $\mathcal{V}(x) = 0$ (sin velocidad en el momento $t = 0$ ). Si la cuerda también se fija en el otro lado: $y(L, t) = 0$ entonces $k = n \pi / L$ donde $n = 1, 2, 3, \ldots, \infty$ .

También puede tener un cuerda plana en $t = 0$ : $\mathcal{Y}(x) = 0$ pero dando una velocidad inicial a cada uno de sus elementos: $\mathcal{V}(x) = B \sin{(k \, x)}$ (con $k = n \pi / L$ para que la cuerda quede fija en sus dos extremos: $\mathcal{V}(0) = \mathcal{V}(L) = 0$ ).

Answer 3

Para responder a su pregunta "¿Cuál es la interpretación física de la condición inicial $p^\prime (\overline{x}, t=0) =0$ ".

$p^\prime (\overline{x}, t=0) $ es la velocidad inicial en el momento cero en función de $\overline{x}$ .

La primera condición inicial, $p (\overline{x}, t=0) $ es el desplazamiento inicial en el momento cero en función de $\overline{x}$ . Obsérvese que las condiciones iniciales pueden darse independientemente unas de otras. El desplazamiento inicial puede ser cero con una velocidad inicial no nula. Si ambos son cero no habrá ninguna onda posterior (si no hay fuerza motriz).