Puede $e^{k \cdot \pi}$ sea algebraico para cualquier número algebraico real $k \neq 0$ ?

Question

En concreto, estoy tratando de resolver para t en el siguiente sistema de restricciones :

1. $e^{(a + \iota b) t} = r$ y
2. $e^{(a - \iota b) t} = s$ y
3. $t > 0$

donde $a$ y $b$ se sabe que son números algebraicos reales, y $r$ y $s$ se sabe que son números racionales.

Se puede concluir (dividiendo el LHS y el RHS de 1. y 2., y porque $r\cdot s > 0$ ). que $r = s$ y que $2bt = 2n\pi$ para algún número entero $n$ . Esto significa que $e^{\frac{a}{b}n\pi} = r$ .

Quiero caracterizar los casos en que esto puede ocurrir.

EDIT : Veo que $a = 0$ (y por lo tanto $r = 1$ ) es una posibilidad (en cuyo caso hay muchos valores posibles de $t$ uno para cada $n \in \mathbb{Z}$ ). ¿Existen otras posibilidades?

Answer 1

$e^{\pi}$ es un número trascendental por la Teorema de Gelfond-Schneider y $e^{k\pi}=(e^{i\pi})^{-ik}$ es un número trascendental para cualquier álgebra $k\neq 0$ .