Demuestra o da un contraejemplo para refutar la siguiente afirmación sobre las series de números reales:
Si $a_k > 0, s_k = a_1 + \cdots + a_k$ y $b_k = a_k/s_k$ entonces $\sum a_k$ y $\sum b_k$ ambos convergen o ambos divergen.
Respuesta
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La serie $\sum a_k$ converge si y sólo si la secuencia de sumas parciales $s_k$ converge.
Supongamos que $\sum a_k$ converge donde $a_k>0$ . Entonces $\lim s_k >0 $ existe. Aplicar la prueba de comparación de límites a $b_k/a_k=s_k^{-1}.$ Por lo tanto, si $\sum a_k$ converge, entonces también lo hace $\sum b_k.$ Si $\sum b_k$ diverge entonces $\sum a_k$ diverge.
Supongamos, por otra parte, que $\sum a_k$ diverge con $a_k> 0$ . Entonces $\lim s_k= \infty.$ Para $m > n$ , ya que $s_k$ está aumentando
$$\sum_{k=n+1}^{m}b_k > \frac1{s_m}\sum_{k=n+1}^{m}a_k =1 - \frac{s_n}{s_m},$$
y para los fijos $n$ la RHS converge a $1$ como $m \rightarrow \infty$ . Por lo tanto, para $m$ suficientemente grande
$$\sum_{k=n+1}^{m}b_k > \frac1{2},$$
y el criterio de Cauchy falla, por lo que $\sum b_k$ también diverge. Si $\sum b_k$ converge entonces $\sum a_k$ converge.
Por lo tanto, $\sum a_k$ y $\sum b_k$ ambos convergen o ambos divergen.
