La colección de $I(a,b,c)= \{(x,y) : x \in (a,b), y=c \}$ forma una base para alguna topología en $\Bbb R^2$ . Determinar el cierre del disco $B^2$ .

Question

La colección de segmentos de línea $I(a,b,c)= \{(x,y) : x \in (a,b), y=c \}$ forma una base para alguna topología en $\Bbb R^2$ . Determinar el cierre del disco $B^2$ .

El cierre es el conjunto cerrado más pequeño que contiene $B^2$ . ¿Tengo que mirar los complementos de los elementos de la base o probablemente las uniones de los elementos de la base ya que estos son los conjuntos cerrados con respecto a la topología generada por la colección de segmentos de línea?

De alguna manera creo que puedo cubrir el disco $B^2$ partiendo de $I(-1,1,-1)$ y subiendo a $I(-1,1,1)$ Entonces, ¿es el complemento de la unión de estos el conjunto que estoy buscando?

Answer 1

Esta topología $,\tau',$ es el producto de la topología estándar en el primer factor con la topología discreta en el segundo. Cada caja abierta en la topología estándar $,\tau,$ en $\mathbb R^2$ es una unión de elementos de $\tau'$ así que $\tau \subseteq \tau'.$

Ahora, el cierre de $B^2$ en $\tau$ está cerrado en $\tau'$ también y así, $\overline {B^2}_{\tau'}\subseteq \{(x,y):x^2+y^2\le 1\}.$

Por lo tanto, los únicos puntos que se cuestionan son los del círculo $S^1.$

Si $p=(0,1)$ entonces cualquier segmento abierto horizontal que contenga $p$ es un conjunto abierto sobre $p$ disjuntos de $B^2$ y así $(0,1)\notin \overline {B^2}_{\tau'}.$ El mismo argumento se aplica a $p=(0,-1).$

Por otro lado, si $p\in S^1$ es cualquier otro punto, se puede demostrar mediante un argumento estrictamente análogo, que $p\ \textit{is}$ en el cierre.