Combinación lineal del conjunto vacío

Question

Como sé span( $\emptyset$ ) $ ={0}$ . En otras palabras, la base del espacio ${0}$ está vacío. Además, sé que cualquier vector del espacio es una combinación lineal de vectores de su base.

Mi pregunta es cómo expresar el 0 como una combinación lineal de vectores ausentes.

Answer 1

Por convención, la suma vacía es $$\sum_{x\in\varnothing} x = 0.$$ La intuición para esto es que el cero es la identidad aditiva. Por ejemplo, si $S$ es un conjunto finito no vacío de vectores, entonces como $S\cap\varnothing = \varnothing$ , $$\sum_{x\in S\cup\varnothing} x = \sum_{x\in S} x + \sum_{x\in\varnothing} x = \sum_{x\in S} x + 0 = \sum_{x\in S}x.$$ Del mismo modo, el producto vacío se interpreta como uno: $$\prod_{x\in\varnothing} x = 1, $$ Recordemos que $0!=1$ y que $1$ denota la identidad multiplicativa en un campo.