¿Cuál es el error máximo en la interpolación lineal?

Question

Supongamos que $f$ es una función dos veces diferenciable tal que $\underset {a \le x \le b} {\sup} |f''(x)|=M_2$ . Entonces el error máximo en la interpolación lineal de $f$ en $[a,b]$ viene dada por

$(a)$ $\frac {hM_2} {8}.$

$(b)$ $\frac {h^2 M_2} {8}.$

$(c)$ $\frac {h^2 M_2} {2}.$

$(d)$ $\frac {h^2 M_2} {6}.$

Sabemos que si $g(x)$ es el polinomio interpolador lineal de $f$ en $[a,b]$ entonces tendríamos $g(x) =f(a) + (x-a) \frac {\{f(b)-f(a)\}} {b-a}$ . Ahora el error en la interpolación lineal viene dado por $E(x)=f(x) - g(x) =f(x) - \{f(a) + (x-a) \frac {\{f(b)-f(a)\}} {b-a} \}$ . Desde $f$ es dos veces diferenciable $\exists$ $\xi \in (a,b)$ tal que $\frac {f(b)-f(a)} {b-a}=f'(\xi).$ Así que tenemos $E(x)=f(x)-f(a)-(x-a)f'(\xi).$ Aplicando de nuevo el teorema del valor medio de Lagranges a $f$ en $[a,x]$ tenemos $\exists$ $\eta \in (a,x)$ tal que $f(x)-f(a)=(x-a)f'(\eta).$ Así que tenemos $E(x)=(x-a)(f'(\eta)-f'(\xi)).$ Sin pérdida de generalidad, supongamos que $\eta \ge \xi.$ Entonces, aplicando el teorema del valor medio de Langranges a $f'$ en $[\xi,\eta]$ tenemos un punto $\zeta \in (\xi,\eta)$ tal que $E(x)=(x-a)(\eta-\xi)f''(\zeta).$ Por lo tanto, tenemos $|E(x)| \le (b-a)^2 M_2$ para todos $x \in [a,b].$ Ahora bien, como se trata de una interpolación lineal, el número de nodos es sólo $2$ que son precisamente $a$ y $b$ y así $b-a=h$ . Por lo tanto, tenemos el valor máximo del error como $h^2M_2.$ Lo cual no responde a mi propósito.

¿Podría alguien darme alguna sugerencia?

Gracias de antemano.

Answer 1

SUGERENCIA. Tal vez su estimación es un poco dura. Creo que este intento te ayuda: deja $g(x)$ -polinomio interpolador lineal para función dos veces diferenciable $f$ en $[a;b]$ , entonces para $a \leqslant x \leqslant b$ , $$f(x)-g(x)=\tfrac{(x-a)(x-b)}{2}\cdot f''(c)$$ Entonces, usa eso: $$\underset{a \leqslant x \leqslant b}{max}(x-a)(b-x)\leqslant \frac{h^2}{4}$$ Para más detalles, consulte: error en LI