Prometí escribir una respuesta más larga, pero simplemente no tengo tiempo esta semana - lo siento. Lo que quería señalar es que, aunque la idea de que "todo tipo de cohomología que se haya considerado no es más que el estudio de los componentes conectados en los hom-espacios de algún $(\infty,1)$ -El "topos" es una de las ideas más sorprendentes de la historia (en mi opinión), pero todavía no está claro (al menos para mí) cómo funciona exactamente en todos los casos, incluso para la cohomología de gavillas abelianas. Por ejemplo, la mayoría de la gente parece creer que el derecho $(\infty,1)$ -para las teorías de cohomología en geometría algebraica debería estar dada por la teoría de homotopía A1 (o "motivacional"), pero no hay nada en la literatura sobre la representabilidad de $p$ -teorías de cohomología adica, como la cohomología rígida. Creo que esto puede deberse a algún problema técnico, pero no estoy seguro. También hay otras cuestiones y ejemplos que no están claros (¡para mí!).
La otra cosa que quería hacer era aclarar varias piezas de terminología relacionadas con la cohomología en la geometría algebraica, por ejemplo, "cohomología generalizada" significa diferentes cosas en diferentes artículos, y hay muchas nociones diferentes de "cohomología universal". Tal vez pueda ampliar esto más adelante.
Una pequeña observación: La cohomología motivacional suele considerarse como la cohomología universal de Bloch-Ogus, mientras que la cohomología universal de Weil debería ser probablemente motivos puros con respecto a la equivalencia racional ("probablemente", porque depende de lo que se entienda exactamente por "universal" y "cohomología de Weil"). Sin embargo, las dos nociones están estrechamente relacionadas.
(Aparte: La razón por la que estoy muy ocupado esta semana es que de repente me encuentro escribiendo solicitudes de trabajo, después de haber resuelto esencialmente mi problema de tesis la semana pasada, y una de las principales razones por las que pude resolver mi problema de tesis fue que apliqué el punto de vista unificado de Urs sobre la cohomología en un nuevo escenario).
