Tengo un problema concreto, pero también me gustaría saber cómo abordar el caso general. En primer lugar, plantearé la cuestión general. Sea $M$ sea un submanifold incrustado de $\mathbb{R}^n$ y que $F: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n $ sea un mapa suave. ¿Cómo puedo comprobar si $F(M)$ es un submanifold liso embebido de $\mathbb{R}^n$ ¿o no? El problema concreto que tengo es el siguiente :- Dejar $F:\mathbb{C}^2\to \mathbb{C}^2$ el mapa $(z_1,z_2) \mapsto (z_1+z_2,z_1z_2)$ y que $M$ sea la esfera unitaria en $\mathbb{C}^2$ es decir, $\lbrace (z_1,z_2) : |z_1|^2 + |z|^2 = 1 \rbrace $ . Es $F(M)$ un submanifold incrustado de $\mathbb{C}^2$ (considerado como $\mathbb{R}^4$ )?
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BlaM
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Si se considera el mapa real $(x_1, x_2)$ --> $(x_1+x_2, x_1x_2)$ entonces la imagen del círculo no es un submanifold. De hecho, tu mapa no es inyectivo: es simétrico con respecto al intercambio de las dos coordenadas, por lo que el círculo se pliega una vez sobre sí mismo y su imagen es homeomorfa a un segmento cerrado. En el caso complejo, creo que la imagen es homeomorfa al cociente de la esfera por la involución que intercambia las dos variables complejas... El conjunto de puntos fijos de esta involución es el círculo dado por la intersección con la recta $(z,z)$ . Cerca de este círculo el cociente debe ser como el cociente de R x C por la involución $(t, z) \mapsto (t, -z)$ que sigue siendo un colector. Así que yo pensaría que F(M) es un colector...
Rashmi Pandit
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Para ampliar la respuesta de Diego Matessi (y el comentario de Boyarsky que sólo vi después de escribir esto)... el mapa $F$ es simétrico, por lo que se factoriza como un mapa compuesto $$C^2\longrightarrow (C^2)_{\Sigma_2}\longrightarrow C^2.$$ Aquí $\Sigma_2$ es el grupo con $2$ elementos que actúan sobre $C^2$ cambiando las coordenadas, el primer mapa es el mapa cociente, y el segundo mapa es bien conocido por ser un homeomorfismo. Se puede considerar como el mapa que envía un par desordenado $[z_1, z_2]$ al único polinomio complejo mónico cuyas raíces son $-z_1$ y $-z_2$ . Así que el mapa $S^3\to F(S^3)$ no es inyectiva. Sin embargo, es un ejercicio fácil demostrar que $F(S^3)$ es homeomorfo a $S^3$ . Pero además, me parece que $F(S^3)$ no debe ser un submanifold liso de ${\mathbb C}^2$ . $F(S^3)$ puede identificarse con el espacio de polinomios cuadráticos complejos mónicos $z^2+bz+c$ cuyo par de raíces da un vector complejo unitario. Por lo tanto, es el espacio de pares de números complejos $(b, c)$ que resuelven la ecuación $$|\frac{-b+\mbox{first square root of } b^2-4c}{2}|^2+|\frac{-b+\mbox{second square root of } b^2-4c}{2}|^2=1.$$ Parece que el espacio de soluciones de esta ecuación no debería ser suave, y que debería producirse una singularidad donde el discriminante $b^2-4c$ es cero - que corresponde a la diagonal en el original $C^2$ pero podría estar equivocado.
Editar Permítanme señalar que la ecuación puede simplificarse. Sea $\Delta=b^2-4c$ . Entonces la ecuación es, de hecho, equivalente a $$(*) \,\, |b|^2+|\Delta|=2.$$ Como el mapa $(b,c)\to (b, b^2-4c)$ es un difeomorfismo, la cuestión de si $F(M)$ es una submanifold lisa es equivalente a la pregunta de si el espacio de soluciones de la ecuación ( $\ast$ ) es un submanifold liso de $C^2$ . Sólo quería señalar esto porque la ecuación ( $\ast$ ) parece más sencillo que el que escribí originalmente. Mientras tanto, Sergei Ivanov dio un argumento que muestra que no es suave.
