Cómo encontrar la suma de $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\binom{4n-4}{n-1}}{2^{4n-3}(3n-2)}$

Question

hoy en día,veo un increíble problema de matemáticas:

mostrar que

$$\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\binom{4n-4}{n-1}}{2^{4n-3}(3n-2)}=\dfrac{\sqrt[3]{17+3\sqrt{33}}}{3}-\dfrac{2}{3\sqrt[3]{17+3\sqrt{33}}}-\dfrac{1}{3}$$

Este problema es de aquí.

Pero considero que a veces,y creo que tal vez el uso de Taylor therom

$$\arcsin{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(2n-1)!!}{(2n+1)(2n)!!}x^{2n+1}$$

Gracias,Ahora es de 24:00 en hora de beijing,así que debo ir a la cama.Espero que alguien pueda ayudar.Gracias

Answer 1

La serie transformada en Marin del post me parece sospechosamente a la expansión de Taylor de Traer radical $$\begin{aligned}\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\binom{4n-4}{n-1}}{2^{4n-3}(3n-2)} &= \sum_{n=0}^{\infty} \binom{4n}{n} \frac{1}{(3n + 1)2^{4n + 1}} \\ &= \frac{16^{1/3}}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \binom{4n}{n} \frac{\left ( 16^{-1/3} \right )^{3n + 1}}{(3n + 1)} \\ &= \frac{1}{2^{1/3}}\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{\left(16^{-1/3}\right)^n}{n!} \left [\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} \left ( 1 + z \right )^{4n} \right ]_{z = 0}\end{aligned}$$

La última suma es el de Lagrange-Burmann la inversión de la fórmula aplicada a $\phi(z)=(1+z)^4$. Es muy sencillo ahora que la serie (exlcuding el factor constante $1/2^{1/3}$) es uno de los dos raíces reales de la cuártica $z^4 + z + 16^{-1/3}$. Uno puede excluir $-1/2^{1/3}$ a través de la invocación de un numérica de verificación, y por lo tanto

$$\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\binom{4n-4}{n-1}}{2^{4n-3}(3n-2)} = \dfrac{\sqrt[3]{17+3\sqrt{33}}}{3}-\dfrac{2}{3\sqrt[3]{17+3\sqrt{33}}}-\dfrac{1}{3} \blacksquare$$

Answer 2

La suma puede ser escrito como $$\sum_{n=0}^\infty \binom{4n}{n}\frac{1}{(3n+1)2^{4n+1}}=\frac{1}{2}{\;}_3F_2 \left(\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{3}{4}; \frac{2}{3},\frac{4}{3};\frac{16}{27} \right)$$ Para la Función Hipergeométrica, véase la ecuación (25) de http://mathworld.wolfram.com/HypergeometricFunction.html $${\;}_3F_2 \left(\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{3}{4}; \frac{2}{3},\frac{4}{3};y \right) = \frac{1}{1-x^3}$$ donde $x$ $y$ están relacionados por $$y=\left( \frac{4x(1-x^3)}{3}\sqrt[3]{4} \right)^3$$ Poner a $y=16/27$, obtenemos una ecuación polinómica en $x$. $$1=16 x^3(1-x^3)^3$$ De acuerdo con Mathematica, esta ecuación tiene dos raíces reales que son $$\begin{align*} \alpha &= \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \\ \beta &= \left\{\frac{1}{6} \left(5-\frac{4}{\left(19-3 \sqrt{33}\right)^{1/3}}-\left(19-3 \sqrt{33}\right)^{1/3}\right) \right\}^{1/3} \end{align*}$$ Numericaly, $\beta$ da la respuesta correcta. Así, el resultado final es $$ \begin{align*}\sum_{n=0}^\infty \binom{4n}{n}\frac{1}{(3n+1)2^{4n+1}} &=\frac{1}{2\left(1-\beta^3 \right)} \\ &= \dfrac{\sqrt[3]{17+3\sqrt{33}}}{3}-\dfrac{2}{3\sqrt[3]{17+3\sqrt{33}}}-\dfrac{1}{3} \\ &\approx 0.543689\end{align*}$$

Answer 3

$\newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}% \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace #1 \right\rbrace}% \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack #1 \right\rbrack}% \newcommand{\dd}{{\rm d}}% \newcommand{\isdiv}{\,\left.\a la derecha\vert\,}% \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}}% \newcommand{\equalby}[1]{{#1 \cima {= \cima \vphantom{\enorme}}}}% \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,}% \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,}% \newcommand{\ic}{{\rm i}}% \newcommand{\imp}{\Longrightarrow}% \newcommand{\pars}[1]{\left( #1 \right)}% \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}}% \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}}% \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}}% \newcommand{\verts}[1]{\left\vert #1 \right\vert}% \newcommand{\yy}{\Longleftrightarrow}$

$\ds{% {\cal S} \equiv \sum_{n = 1}^{\infty}{{4n - 4 \elegir n - 1} \over 2^{4n - 3}\,\pars{3n - 2}} = {1 \over 2} \sum_{n = 0}^{\infty}{4n \elegir n}\,{\pars{1/16}^{n} \over 3n + 1} = {16^{1/3} \over 2} \sum_{n = 0}^{\infty}{4n \elegir n}\,{\pars{16^{-1/3}}^{3n + 1} \over 3n + 1}}$.

$$ \mbox{Vamos a definir}\quad {\rm f}\pars{z} \equiv \sum_{n = 0}^{\infty}{4n \elegir n}\,{z^{3n + 1} \over 3n + 1} \quad\mbox{tales que}\quad {\cal S} = {16^{1/3} \over 2}{\rm f}\pars{1 \over 16^{1/3}} $$

\begin{align} \!\!\!\!{\rm f}'\pars{z} &= \sum_{n = 0}^{\infty}z^{3n}{4n \choose n} = \sum_{n = 0}^{\infty}z^{3n}\int_{\verts{z'}\ =\ 1^{-}} {\pars{1 + z'}^{4n} \over z'^{n + 1}}\,{\dd z' \over 2\pi\ic} = \!\!\!\int_{\verts{z'}\ =\ 1^{-}}\!{\dd z' \over 2\pi\ic}\,{1 \over z'} \sum_{n = 0}^{\infty}\bracks{z^{3}\pars{1 + z'}^{4} \over z'}^{n} \\[3mm]&= \int_{\verts{z'}\ =\ 1^{-}}\!{\dd z' \over 2\pi\ic} {1 \over z' - z^{3}\pars{1 + z'}^{4}} \end{align}

Con WA, tratamos de encontrar los ceros de $ax^{4} - x + 1 = 0$ $\pars{~a \equiv z^{3}, \quad x \equiv z' + 1~}$ y que $\underline{\bf look}$ muy involucrado. El valor interesante de $a$ $a = z^{3} = 1/16$ y el comportamiento en $\pars{0,z_{m}}$$z_{m} > 16^{-1/3}$. Con WA, buscamos los ceros de $x^{4} -16x + 16 = 0$. Es $\underline{\bf yields}$ los siguientes raíces, en términos de $z'$: $$ z' = 1\,,\quad0.0874\,,\quad -2.5437 \pm 2.2303\,\ic $$ Es claro que hay una raíz cercano a cero, pero ${\bf \mbox{no sabemos cómo la}\ z' = 1\ \mbox{raíz se desarrolla cuando}\ z\ \mbox{aleja de}\ z = 16^{-1/3}}$. The contribution of the root $z_{0}$ "cerca de cero" está dada por:

$$ \lim_{z' \a z_{0}}{z' - z_{0} \over z' - z^{3}\pars{1 + z'}^{4}} = {1 \over 1 - 4z^{3}\pars{1 + z_{0}}^{3}} = {1 \over 1 - 4z^{3}\pars{z_{0}/z^{3}}^{3/4}} = {1 \over 1 - 4z^{3/4}z_{0}^{3/4}} $$

Observe que $z_{0}$ es una función de $z$. Esperamos que precisa ( analítico ) la solución de los ceros se ha mencionado anteriormente se rinde ${\rm f}\pars{z}$.

Answer 4

Sugerencia: el lado derecho es una raíz de $27 z^3 + 18 z - 34$. Hay una manera de resolver ecuaciones de la forma $x^p + a x + b = 0$ el uso generalizado de funciones hipergeométricas.