Pruebas dentro de la teoría elemental de los números

Question

Prueba esto: Sean n y m enteros positivos. Si m es par, y n no es divisible por 4, entonces m^2 + n tampoco es divisible por 4.

No estoy seguro de cómo empezar, y he estado luchando con la demostración por contradicción diciendo que n es divisible por 4 y diciendo que m^2 + n es divisible por 4 pero no creo que funcione en absoluto ¡cualquier ayuda sería genial!

Answer 1

Estabas en el camino correcto.

Si $m$ es par, entonces se puede escribir $m=2k$ . Entonces $m^2=4k^2$ es divisible por 4.

Ahora supongamos por contradicción que $m^2+n $ es divisible por 4, es decir $m^2+n =4 \ell $ . Entonces $$ n=4\ell-m^2=4(\ell-k^2), $$ es decir $n$ sería divisible por 4, una contradicción.

Answer 2

Un par de consejos. Si $m$ es incluso entonces puede probar que $m^2$ es divisible por $4$ ?

¿Y sabes que si $A$ es divisible por $k$ entonces $A+B$ es divisible por $k$ si y sólo si $B$ es divisible por $k$ ?

¿Puedes juntar todo esto?

Tal vez puedas usar el Teorema de la división: Para cualquier número entero $M$ y cualquier número natural $n$ hay enteros únicos $q,r$ donde $M = n\cdot q + r$ y $0\le r < n$ . (Piensa en ello como $r$ es el resto cuando se divide $M$ por $n$ y $q$ es el cociente redondeado al intervalo más cercano).

Pruébalo por tu cuenta y luego lee a continuación cómo lo he montado

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$m$ es par por lo que hay un número entero $k$ para que $m = 2k$ .

Esto significa que $m^2 = 4k^2$ así que $4|m^2$ .

[Lema: Si $k|A$ entonces $k|A+B$ si y sólo si $k|B$ . Pf: Que $A=kn$ , si $4|A+B$ entonces hay un $m$ para que $A+B = 4m$ . Esto significa que $B = 4m-A=4m-4n=4(m-n)$ y $4|B$ . En caso contrario, si $4|B$ entonces hay un $k$ para que $B = 4k$ y $A+B = 4m + 4k = 4(m+k)$ y $4|A+B$ .]

Así que $4|m^2 + n$ si y sólo si $4|4k^2 +n$ si y sólo si $4|n$ . Pero nos dijeron $4\not \mid n$ . ... por supuesto... así es como lo he redactado. Puedes demostrarlo como quieras.