Forma de los axiomas en el álgebra abstracta

Question

Cuando se definen estructuras algebraicas abstractas (como monoides, grupos, etc.), ¿hay algunas restricciones en la forma de los axiomas, para que la estructura tenga buenas propiedades que implícitamente usamos en muchas pruebas (como comportarse bien con respecto a morfismos y cocientes)?

Por ejemplo, ¿es aceptable el siguiente axioma, en una estructura dotada de una función unaria $f$ y un operador binario $\circ$ : $$\forall x, \text{ if }x\circ x=x\text{ then } f(x)=x.$$

Más concretamente, ¿tiene sentido estudiar las variedades generadas por (subclases de) tales clases de objetos, aunque la clase de estructuras así definida no sea una variedad, ya que este axioma no es una ecuación?

Answer 1

Esto es lo que se conoce como una cláusula de cuerno ecuacional. Es una implicación entre dos ecuaciones. Es un caso especial de lo que se llama una teoría casi ecuacional, que es una con operaciones y operaciones parciales, teniendo estas últimas dominios dados por ecuaciones que usan las operaciones ordinarias (totales), más ecuaciones que implican las operaciones parciales y totales. Hay una aparente generalización en la que se permiten operaciones parciales cuyos dominios están dados por ecuaciones que implican operaciones parciales, pero resulta que no es más general.

Un buen ejemplo es la categoría de categorías (pequeñas) en la que el dominio de la operación de composición está dado ecuacionalmente en términos de las operaciones totales de dominio y codominio. Esto se discute en detalle en ``Category Theory for Computing Science'', disponible gratuitamente en http://www.math.mcgill.ca/triples/Barr-Wells-ctcs.pdf .

Answer 2

X = "conservación".

Por lo general, uno se siente motivado a estudiar una estructura porque sirve de modelo para algo de interés. Del mismo modo, un cierta afirmación o clase de afirmaciones puede tener buenas consecuencias para su clase de modelos. No es habitual decir "quiero construir esta estructura, pero sólo si puedo caracterizarla con identidades regulares o en pentámetro pentámetro". Los teoremas de conservación son la familia de teoremas que relacionan la forma de una caracterización lenguaje/teoría caracterizadora con la forma de las construcciones conservadas.

Si necesita un tipo de traje especial para vestir una clase de modelos a la que pertenece su estructura es posible que no consiga un ajuste preciso: algunos miembros de la clase queden excluidos, o tal vez se incluyan algunos miembros adicionales se incluyan. El que esto sea deseable depende de la fiesta para la que uno se disfraza.

La respuesta corta es: depende. Si está buscando axiomatizaciones alternativas para su clase, entonces ¿por qué? ¿Necesitas un sistema de reescritura de términos para trabajar en él? ¿Es suficiente la axiomatización recursiva? ¿Necesita una presentación mixta de un axioma de segundo orden y uno o dos axiomas modificadores de primer orden? ¿Está usted tratando de encajar su clase en algún conjunto de clases definidas?

La forma sí importa. No puedo decirte por qué antes de que me digas la motivación suficiente.