Encontrar el valor esperado de $\dfrac{X}{Y}$

Question

A continuación se muestra un problema que hice. Creo que lo hice correctamente y espero que alguien aquí pueda confirmar que lo hice bien o decirme en qué me equivoqué.

El problema:
Dejemos que $X$ sea una variable aleatoria que se distribuye uniformemente en el intervalo $[1,2]$ . Sea $Y$ sea una variable aleatoria que se distribuye uniformemente en el intervalo $[1,2]$ . Asumiendo que $X$ y $Y$ son independientes, lo que es $E\left( \dfrac{X}{Y}\right) $ ?

Respuesta:

La función de densidad de $X$ y $Y$ es el mismo. Lo es: $$ f(x) = \begin{cases} 1 & \text{for } 1 \leq x \leq 2 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} $$ \begin{align*} E\left( \dfrac{X}{Y} \right) &= \int_1^2 \int_1^2 \dfrac{x}{y} \,\, dy \, dx \\ E\left( \dfrac{X}{Y} \right) &= \int_1^2 x \ln (y) \Big|_1^2 \,\, dy \, dx \\ E\left( \dfrac{X}{Y} \right) &= \int_1^2 x \ln (2) - x \ln (1) \, dx \\ E\left( \dfrac{X}{Y} \right) &= \int_1^2 \ln (2) \, x \, dx \\ E\left( \dfrac{X}{Y} \right) &= \dfrac{ \ln (2) \, x^2}{2} \Big|_1^2 \\ E\left( \dfrac{X}{Y} \right) &= \dfrac{ 4 \ln (2) }{2} - \dfrac{ \ln (2) }{2} \\ E\left( \dfrac{X}{Y} \right) &= \dfrac{ 3 \ln (2) }{2} \\ E\left( \dfrac{X}{Y} \right) &\doteq 1.0397208 \\ \end{align*}

Answer 1

Sí, confirmo que su cálculo es correcto.

El paso clave es identificar el función de densidad conjunta $g(x,y)$ de $X$ y $Y$ . Como son idénticos, simplemente tienes $$ g(x,y)=f(x)f(y)=1_{[1,2]\times[1,2]}(x,y)\;. $$ Lo utilizas implícitamente en el primer paso de tu cálculo. Para simplificar el cálculo, también puede separar la integral doble como $$ \int_1^2xdx\int_1^2\frac1ydy\;=\frac32\cdot\ln(2). $$

Answer 2

Su respuesta me parece perfecta. He hecho una rápida simulación numérica y coincide contigo.

>> b = 1 + rand(1000000,1);
>> a = 1 + rand(1000000,1);
>> mean(a./b)

ans =

    1.0396