¿Existe una transformación lineal $T:\mathbb R^3\to \mathbb R^2$ tal que $T(1,0,2) = (1,1)$ y $T(1,-1,4)=(2,2)$ ?

Question

Tal y como dice el título, no tengo ni idea de cómo resolver esta... He comprobado la pregunta similar en el sitio, pero el otro tiene los vectores resultantes linealmente independientes, mientras que en este ejemplo tengo $(1,1)$ y $(2,2)$ . Por favor, dé una explicación detallada ya que soy un poco lento :C

Answer 1

Dejemos que $$\pmatrix{a & b & c \\ d & e & f}$$ ser una transformación de este tipo. Entonces necesitamos \begin{align*} a+2c &= 1\\ d+ 2f &= 1\\ a-b+4c &= 2\\ d-e+4f &= 2 \end{align*} Por lo tanto, tenemos $2c = 1+b$ y en consecuencia, $a+b = 0$ . De la misma manera, $d+e = 0$ . Por lo tanto, podemos tomar $a = 1, b = -1, c = 0$ y $d = 1, e = -1, f = 0$ . Por lo tanto, la transformación requerida es $$T = \pmatrix{1 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 0}$$