En Veltman's Diagramática se explica el lagrangiano completo del modelo estándar. Este tiene alrededor de cien términos. Son demasiados para que incluso el físico más dedicado (o el matemático más inclinado a la física) pueda trabajar en ellos, salvo pieza por pieza.
En el modelo Connes-Lott-Barrett-Chamseddine, basado en la geometría no conmutativa, el modelo estándar se deriva de una acción espectral con una entrada geométrica simple, el espaciotiempo se multiplica con un punto "gordo" no conmutativo:
$\mathbb{C} \oplus \mathbb{H}_L \oplus \mathbb{H}_R \oplus M_3(\mathbb{C})$
Es de dimensión cero, clásicamente, pero tiene la dimensión 6 de la teoría KO. Esto reproduce el modelo estándar completo, incluyendo el Higgs y la mezcla de neutrinos. Resulta que el bimódulo sobre el dual de este punto gordo, que es la suma de todos los irreductibles de dimensión impar da una generación completa de los fermiones. Cabe destacar que la acción espectral es una generalización de la acción de Einstein-Hilbert.
La teoría no se limita al modelo estándar. En un artículo posterior con Chamseddine, Connes muestra cómo la NCG puede modelar una teoría de gran unificación como la GUT SU(5) de Pati-Salam.
Aunque la geometría no conmutativa es una geometría sin geometría. Quiero decir con esto que trabajan con un álgebra no conmutativa que debe ser pensada como el álgebra de las funciones sobre una geometría no conmutativa que aún no ha sido construida. No estoy tan seguro de que esto vaya a ser así en un futuro próximo (o quizás en un futuro lejano, dada la densidad de las matemáticas necesarias para entender y trabajar con NCG). Uno de los ejemplos estándar de un espacio no conmutativo, según Connes, es el toro irracional, donde las herramientas clásicas no dan ninguna información, pero las no conmutativas sí. Sin embargo, la difeología, que es una generalización de la geometría diferencial clásica, sí lo hace y da resultados aproximadamente similares a los de Connes.
También me gustaría añadir que Mathilde Marcolli ha elaborado una explicación del efecto Hall cuántico fraccionario y que ha tomado su punto de partida de Bellisard, van Elst & Schulz-Baldes La geometría no conmutativa del efecto Hall cuántico (1994) y que ella denomina el primer trabajo sobre física en NCG. Demuestran que el campo magnético convierte la zona de Brillioun en un toro no conmutativo.
También ha publicado un libro reciente con Connes, titulado Geometría no conmutativa, campos cuánticos y motivos . Aquí, como dice un crítico de la AMS en 2007:
Así que el gato está fuera de la bolsa. ¿Qué mayor objetivo matemático puede haber para realizar la HR [Hipótesis de Riemann] para los campos de números y la HR para los campos de funciones como dos caras de la misma moneda, siendo los discriminadores, por así decirlo, la geometría algebraica y (o frente a) la geometría no conmutativa? Este es, manifiestamente, un aspecto de la razón de ser de todo el programa de barrido, con un aspecto complementario de la física cuántica en su forma post-Feynman.
¡Qué viaje tan salvaje!
Un eufemismo.
Imagino que esto último es el motivo de otro libro que ha publicado Marcolli, esta vez titulado simplemente Motivos de Feynman .
