$\DeclareMathOperator\coker{coker}$ Creo que estoy en una posición bastante buena para responder a esta pregunta porque soy un estudiante de posgrado que trabaja en geometría no conmutativa y que entró en el tema un poco escéptico sobre su relevancia para el resto de las matemáticas. A día de hoy, a veces me cuesta entusiasmarme con los resultados puramente "no conmutativos", pero el tema tiene sus tentáculos en tantas otras áreas que nunca me aburro.
Antes de seguir hablando, tengo que decir unas palabras sobre el teorema del índice de Atiyah-Singer. Este teorema afirma que si $D$ es un operador diferencial elíptico en una variedad $M$ entonces su índice de Fredholm $\dim(\ker(D)) - \dim(\coker(D))$ puede calcularse integrando ciertas clases características de $M$ . Entre los corolarios no triviales (que se obtienen "enchufando" operadores diferenciales bien elegidos) se encuentran la fórmula generalizada de Gauss-Bonnet, el teorema de la firma de Hirzebruch y la fórmula de Hirzebruch-Riemann-Roch. Rápidamente se comprendió (primero por Atiyah, creo) que la demostración del teorema puede verse como una afirmación sobre el emparejamiento de dualidad de Poincaré entre la teoría K topológica y su teoría de homología asociada (hoy en día llamada K-homología).
Yo no estaba allí, pero me han dicho que la gente estaba muy emocionada por el logro de Atiyah y Singer (¡es comprensible!). La gente empezó rápidamente a intentar generalizar y reforzar el teorema, y mi afirmación es que la geometría no conmutativa es el área de las matemáticas que surgió de estos intentos. Decir eso margina las otras razones importantes para desarrollar el tema, pero creo que fue la principal motivación de Connes y, en cualquier caso, es una simplificación conveniente para una respuesta de MO. También me ayuda a responder a tu primera pregunta jugando con mis prejuicios personales: cuando estaba eligiendo un área de investigación le dije a mi asesor que estaba interesado en aprender más sobre ese teorema del índice de Atiyah-Singer y me condujo inexorablemente hacia las herramientas de la geometría no conmutativa.
El origen de la relación entre NCG y Atiyah-Singer se encuentra en la teoría de índices equivariantes. Atiyah y Singer se dieron cuenta desde el principio de que si $M$ admite una acción de un grupo de Lie compacto $G$ y $D$ es invariante bajo la acción del grupo, entonces es mejor pensar en el índice de $D$ como una representación virtual de $G$ (es decir, un elemento del $G$ -K-equivariante de un punto) en lugar de como un número entero. Si $G$ no es compacto entonces esto no funciona realmente, pero los geómetras no conmutativos se dieron cuenta de que $D$ tiene un índice en la teoría K del grupo reducido C $^\ast$ -Álgebra $C_r^\ast(G)$ . En efecto, para un geómetra no conmutativo, la teoría de índices equivariantes es un mapa $K_\ast(M) \to K_\ast(C_r^\ast(M)$ donde $K_\ast(M)$ es la K-homología de $M$ en el caso de que $M$ es el espacio clasificador universal de $G$ Baum y Connes conjeturan que este mapa es un isomorfismo. Probar esta conjetura para más y más grupos y entender sus consecuencias motiva gran parte del desarrollo de NCG hasta el día de hoy.
La conjetura es interesante por sí misma si ya te preocupas por la teoría de los índices, pero incluso si no lo haces la inyectabilidad del mapa de Baum-Connes implica la conjetura de Novikov (véase el artículo de Alain Valette respuesta ) y la subjetividad está relacionada con la conjetura de Borel. Tiene otras numerosas aplicaciones, por ejemplo a la teoría de las obstrucciones de curvatura escalar positiva en la geometría de Riemann o a la conjetura de Kadison-Kaplansky en el análisis funcional (que se derivaría de la subjetividad). Recientemente ha habido mucho interés en las conexiones entre la conjetura de Baum-Connes y la teoría de la representación; la conjetura de Baum-Aubert-Plyman en $p$ -La teoría de la representación de los radicales tiene su origen en este tipo de consideraciones.
Gran parte del resto de la NCG también puede remontarse a la teoría de los índices. La teoría KK de Kasparov surgió como una forma de entender los mapas y emparejamientos entre la teoría K y la K-homología, motivada en parte por la teoría de índices. El trabajo de Connes sobre la teoría de la medida no conmutativa surgió de su trabajo sobre la teoría de índices para foliaciones medibles (con aplicaciones a los sistemas dinámicos). La (co)homología cíclica se inventó en parte para acceder, en un entorno no conmutativo, al mapa de caracteres de Chern de la teoría K a la cohomología, que traduce la formulación teórica K del teorema del índice en una fórmula cohomológica. La teoría de los triples espectrales de Connes y la geometría riemanniana no conmutativa se basan en la teoría de los operadores de Dirac, inventada por Atiyah y Singer para demostrar el teorema del índice. Supongo que lo que quiero decir con todo esto es que toda la maquinaria esotérica de la NCG parece menos artificial cuando se ve a través de la lente de la teoría de los índices.
