Espero que esta pregunta sea apropiada para MO. Proviene de un genuino deseo de comprender el panorama general y fundamentar mis propios estudios "moralmente".
Soy un estudiante de posgrado con interés en la teoría de números. Siento que corro el peligro de perder la visión de conjunto cuando me aventuro a profundizar un poco más y reflexionar sobre el punto en el que me encuentro. Lo fundamental para mí es esto: Me interesan los números naturales y, por tanto, naturalmente me interesa la función Zeta de Riemann. Los teóricos de los números se han embarcado en varias aventuras para estudiar los enteros generalizados (anillos de enteros de extensiones Q), y sus funciones zeta asociadas, y más allá (por ejemplo, el programa de Langlands). Algunos matemáticos parecen estar interesados en estos enteros generalizados y en las funciones zeta por sí mismos. A mí no.
Dada mi pasión por $\mathbb{N}$ y zeta, ¿por qué debería estudiar estos otros objetos? Entiendo que filosóficamente para entender un objeto es bueno entender su contexto, y sus similitudes y diferencias con sus hermanos y primos. Este principio tiene mucho sentido.
Pero, en concreto, ¿qué nuevas concepciones de $\mathbb{N}$ y zeta hemos ganado hasta ahora estudiando estos sistemas más generales? ¿Existen razones claramente articuladas por las que podamos esperar recuperar más "tesoro" de estas búsquedas más generales que pueden arrojar luz sobre $\mathbb{N}$ en particular ? A veces me preocupa que la teoría de los números se esté divorciando de su "base" original, aunque creo (y espero) que esta sensación se derive principalmente de la ignorancia.
EDIT: Mi pregunta probablemente no estaba muy bien escrita. Soy consciente de algunas de las ventajas de estudiar soluciones de polinomios en extensiones de anillos (por ejemplo, resolver casos de FLT). Mi preocupación es con el amplio alcance de la investigación de la teoría de números hoy en día, particularmente en la tierra de las funciones zeta generalizadas y el programa de Langlands. Me incomoda (¡en mi ignorancia, lo admito!) la aparente falta de una conexión clara con las preocupaciones "naturales" de los teóricos de los números anteriores a mediados del siglo XX.
Espero que mi pregunta sea tomada con el espíritu de un aprendiz ingenuo que pide motivación a los maestros, y un trazado del terreno de la investigación moderna que conecta con las preocupaciones que solían ser universales.
