¿Cómo contribuye la teoría de números "moderna" a una mayor comprensión de $\mathbb{N}$ ?

Question

Espero que esta pregunta sea apropiada para MO. Proviene de un genuino deseo de comprender el panorama general y fundamentar mis propios estudios "moralmente".

Soy un estudiante de posgrado con interés en la teoría de números. Siento que corro el peligro de perder la visión de conjunto cuando me aventuro a profundizar un poco más y reflexionar sobre el punto en el que me encuentro. Lo fundamental para mí es esto: Me interesan los números naturales y, por tanto, naturalmente me interesa la función Zeta de Riemann. Los teóricos de los números se han embarcado en varias aventuras para estudiar los enteros generalizados (anillos de enteros de extensiones Q), y sus funciones zeta asociadas, y más allá (por ejemplo, el programa de Langlands). Algunos matemáticos parecen estar interesados en estos enteros generalizados y en las funciones zeta por sí mismos. A mí no.

Dada mi pasión por $\mathbb{N}$ y zeta, ¿por qué debería estudiar estos otros objetos? Entiendo que filosóficamente para entender un objeto es bueno entender su contexto, y sus similitudes y diferencias con sus hermanos y primos. Este principio tiene mucho sentido.

Pero, en concreto, ¿qué nuevas concepciones de $\mathbb{N}$ y zeta hemos ganado hasta ahora estudiando estos sistemas más generales? ¿Existen razones claramente articuladas por las que podamos esperar recuperar más "tesoro" de estas búsquedas más generales que pueden arrojar luz sobre $\mathbb{N}$ en particular ? A veces me preocupa que la teoría de los números se esté divorciando de su "base" original, aunque creo (y espero) que esta sensación se derive principalmente de la ignorancia.

EDIT: Mi pregunta probablemente no estaba muy bien escrita. Soy consciente de algunas de las ventajas de estudiar soluciones de polinomios en extensiones de anillos (por ejemplo, resolver casos de FLT). Mi preocupación es con el amplio alcance de la investigación de la teoría de números hoy en día, particularmente en la tierra de las funciones zeta generalizadas y el programa de Langlands. Me incomoda (¡en mi ignorancia, lo admito!) la aparente falta de una conexión clara con las preocupaciones "naturales" de los teóricos de los números anteriores a mediados del siglo XX.

Espero que mi pregunta sea tomada con el espíritu de un aprendiz ingenuo que pide motivación a los maestros, y un trazado del terreno de la investigación moderna que conecta con las preocupaciones que solían ser universales.

Answer 1

¿Por dónde empezar? Como pequeño ejemplo, supongamos que estamos interesados en las soluciones en números racionales de una ecuación $Y^2=X^3+AX+B$ es decir, los puntos racionales de una curva elíptica $E$ . Naturalmente, uno mira las soluciones algebraicas $E(\overline{\mathbb{Q}})$ ya que se puede hacer geometría sobre el campo algebraicamente cerrado $\overline{\mathbb{Q}}$ y luego escoge los puntos racionales $E(\mathbb{Q})$ estudiando la acción del grupo de Galois $G(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ y escogiendo los puntos que son invariantes para la acción del grupo. Esperemos que también te interesen los números racionales, ya que no son más que cocientes de números enteros, pero si insistes en los problemas con números enteros, entonces se pueden mirar las soluciones de los enteros $E(\mathbb{Z})$ que forma un conjunto finito (teorema de Siegel, hecho efectivo por Baker). Pero incluso ahí, una forma de estudiar $E(\mathbb{Z})$ es analizándolo como un subconjunto de $E(\mathbb{Q})$ así que vuelves a las soluciones racionales.

Es un poco largo, pero ilustra un principio general. Si un problema relacionado con un conjunto es difícil, por ejemplo, un problema relacionado con números enteros, puede ser más fácil resolver un problema relacionado con un conjunto más grande y luego elegir el subconjunto que realmente te interesa.

Dicho todo esto, también es cierto que hay matemáticos que encuentran intrínsecamente interesante el estudio de objetos "nuevos", independientemente de las aplicaciones originales para las que fueron concebidos. Por ejemplo, hay mucha gente que estudia las formas automórficas por sí mismas. Si hay aplicaciones a los problemas clásicos de los números enteros, es estupendo, pero no es su motivación ni su interés principal. Por suerte, hay espacio para todos en la gran carpa que constituye la comunidad de investigación matemática.

Answer 2

La respuesta se puede encontrar en la historia del tema. Para abreviar, consideremos las siguientes dos cuestiones genuinamente numéricas que ya interesaban a Gauss (y a Fermat, Euler, Lagrange, Legendre, Jacobi, Dirichlet, Eisenstein):

(1) ¿Para qué números primos es un residuo cuadrático un número entero dado?

(2) ¿Qué números pueden escribirse como suma de tres cuadrados y de cuántas formas?

Estas cuestiones fueron bastante bien entendidas por Gauss y sus contemporáneos, pero admiten generalizaciones igualmente naturales que resultaron ser mucho más difíciles (y se están estudiando hasta la actualidad):

(3) Dado un polinomio irreducible sobre los números enteros, ¿sobre qué primos se descompone el polinomio de una manera particular (por ejemplo, se divide en factores lineales)?

(4) ¿Qué números están representados por una forma cuadrática integral positiva y de cuántas maneras? ¿Cómo se distribuyen las representaciones en el elipsoide correspondiente?

Las mejores respuestas a estas preguntas se basan en gran medida en la teoría de las formas automórficas y su $L$ -funciones. La pregunta (3) lleva naturalmente a Artin $L$ -funciones, la pregunta si hay una forma alternativa de describir sus coeficientes, para lo cual las mejores respuestas las produce el programa Langlands. La pregunta (4) conduce naturalmente a la teoría de los géneros y de los géneros de espinores, a las series theta y a las formas de cúspide, a la fórmula de maass de Siegel y a las series de Eisenstein, a la cota de Siegel para el número de clase, a la elevación de Shimura y a la fórmula de Waldspurger, a las cota para los autómatas $L$ -funciones, todo lo cual requiere un pensamiento automórfico global. La pregunta (4) también conduce a cuestiones más generales, como la representación de una forma cuadrática por otra, o sus homólogas sobre campos numéricos, lo que hace aflorar una clase más amplia de formas automórficas (por ejemplo, las formas modulares de Siegel y Hilbert).

Formas automórficas y su $L$ -funciones no es una digresión de los números naturales sino la herramienta más adecuada para formular y estudiar sus propiedades. A menudo me pregunto qué es lo primero: ¿los números naturales o las formas automórficas?

Entiendo que no he respondido completamente a su pregunta. Mi objetivo era indicar dos puntos calientes (las representaciones de Galois y las formas cuadráticas) en los que las formas automórficas han tenido una enorme influencia, incluida la investigación contemporánea.

Answer 3

Si aún no lo conoce, le recomiendo que lea Teoría de la representación: su surgimiento y su papel en la teoría de los números por el propio Langlands. Motiva el programa de Langlands en términos de una de las cuestiones más concretas y clásicas de la teoría de los números, a saber, la búsqueda de soluciones enteras de ecuaciones polinómicas módulo un primo.

Dejemos que $l$ sea un primo, congruente con 1 mod 4 para simplificar, y digamos que te interesa saber para qué primos $p$ la ecuación $$x^2 - l \equiv 0 \pmod p$$ tiene una solución entera, o dicho de otro modo, se quiere saber para qué primos $p$ el polinomio $x^2-l$ factores modulares $p$ . La respuesta, por supuesto, viene dada por la reciprocidad cuadrática, y sólo depende del valor de $p \bmod l$ .

Es un hecho tan bonito que pide a gritos una generalización. Nos gustaría que el comportamiento de la factorización del polinomio módulo $p$ depender únicamente de " $p$ modulo algo". Para los polinomios con grupo de Galois abeliano, la teoría del campo de clases da una respuesta muy bella y satisfactoria, diciéndonos que " $p$ modulo algo" debe interpretarse en términos de un determinado grupo de clases. (En el caso de la reciprocidad cuadrática, el grupo de clases pertinente es isomorfo a $\mathbb{Z}/l\mathbb{Z}$ .) La búsqueda de la respuesta en general conduce más o menos directamente al programa de Langlands. Como escribe Langlands

Otro ejemplo, cuyas razones de elección se explicarán más adelante, es $$x^5 + 10x^3 − 10x^2 + 35x − 18.$$ Es irreducible módulo $p$ para $p = 7, 13, 19, 29, 43, 47, 59, \ldots$ y factores en factores lineales módulo $p$ para $p = 2063, 2213, 2953, 3631, \ldots\,$ . Estas listas pueden continuar indefinidamente, pero es dudoso que incluso el matemático más perspicaz y experimentado pueda detectar alguna regularidad. No obstante, está ahí.

Para saber más de la historia, lea el periódico.

Answer 4

Permítanme ilustrar este punto con un ejemplo concreto y conocido: el problema de números congruentes El problema abierto más antiguo de las matemáticas. Un número entero $n>0$ se dice que es un número congruente si se puede escribir como el área de un triángulo rectángulo con lados racionales. ¿Qué números enteros son congruentes en este sentido?

Utilizando su método de descenso infinito, Fermat demostró que $1$ no es congruente, con lo que se resuelve una conjetura de Fibonacci.

La mejor respuesta actual al problema, que depende en gran medida de las matemáticas del siglo XX, es la de Tunnell conjetura caracterización de los números congruentes. Se pueden encontrar muchos artículos expositivos en la web (por ejemplo de Karl Rubin, Pierre Colmez, la traducción de Franz Lemmermeyer de un artículo de Guy Henniart, y John Coates). Mi propio intento puede encontrarse en el arXiv. Koblitz ha escrito un libro entero sobre ello.

Se necesitarán más matemáticas del siglo XX (y quizás incluso algunas del siglo XXI) para demostrar que esta caracterización conjetural es realmente correcta.

Recientemente, Ye Tian ha realizado avances muy importantes. Véase, por ejemplo su preimpresión o el vídeo de su charla en Moscú .

Intente hacer esto con sólo $\mathbf{N}$ (y $\zeta$ ¡) !

Apéndice . También puede interesarle el artículo de Lang La reseña de Mordell, la carta de Siegel a Mordell, la geometría diofantina y las matemáticas del siglo XX en el Gaceta (1995) 63 .

Anexo 2 . Para obtener una amplia visión de la Teoría de Números en la actualidad, puede consultar Introducción a la teoría moderna de los números: Problemas, ideas y teorías fundamentales por Yu. I. Manin y Alexei A. Panchishkin.

Anexo 3 (2013/01/19). John Coates ha escrito un breve relato del resultado de Tian en el PNAS 109 (52), 21182-21183 .

Answer 5

Otro comentario/pregunta, que se suma a las excelentes respuestas: la pregunta en sí misma es totalmente razonable, y no tiene una respuesta evidente en la literatura profesional contemporánea, ni en nuestros "textos estándar" actuales. Uno debería sospechar/preocuparse, con razón, de que se haya perpetrado algún tipo de estafa...

Y, en efecto, los monumentos e iconos de épocas pasadas parecen asumir una vida y una mitología propias, que con demasiada frecuencia han dejado caer referencias explícitas o puntuales a la historia anterior.

Así que, efectivamente, hay que hacerse estas preguntas...

Y, al mismo tiempo, parece justo preguntarse a qué viene toda esta cháchara cuando no sólo no hemos probado la SR, sino que ni siquiera hemos probado una franja libre de ceros. ¿El carro antes que los bueyes? :)

Probablemente la explicación genuina en términos humanos es que la descripción inmediata de las cosas nos confundió en cuanto a lo que era un carro, y lo que era un caballo, y... tal vez, lo que era "antes".

Así que, sí, aunque parece que hemos avanzado frustrantemente poco en las "viejas cuestiones", y sólo hacemos tenues analogías en posteriores generalizaciones... ¿cuál es la alternativa?

Es decir, hacemos lo que podemos. Y tenemos cierta presión para "dar bombo" a las agencias de financiación, a los decanos y a los demás. Sí, esto parece reclamar un progreso notable... mientras que en realidad no hemos hecho tanto, según estándares más sobrios. :) Pero no es fácil construir un modelo mejor para informar del progreso.

En algún momento, entonces, uno observa que sería extremadamente imprudente decidirse a probar la SR para una tesis doctoral, o un proyecto postdoctoral, ... o tal vez cualquier otra cosa... a pesar de la extrema conveniencia de progresar exactamente en tal cosa.

Un punto verdaderamente operativo es que la gente tiene que "ganarse la vida", lo que actualmente exige informar de los increíbles progresos a los jefes de departamento y a los decanos. Por lo tanto, ... ruido.

La noción de "deconstrucción" de cualquier actividad humana (es decir, reconocer que se trata de una actividad humana, en lugar del "absoluto" independiente del ser humano y del contexto, que tiene una especie de encanto pernicioso... para los humanos) aclara mucho las aparentes paradojas de las actividades humanas, en muchos casos. :)