Hay que encontrar la elipse de área máxima inscrita en un semicírculo.

Question

Una elipse inscrita en una semicircunferencia fija toca el arco semicircular en dos puntos distintos y también toca el diámetro límite. Su eje mayor es paralelo al diámetro límite.

¿Cuándo tiene la elipse el área máxima posible? ¿Cuál es su excentricidad? $e$ ¿en ese caso?

Conseguí resolverlo utilizando un enfoque basado en coordenadas combinado con algo de cálculo y obtuve la respuesta correcta, es decir, cuando $e=\sqrt{\dfrac 23}$ .

Pero esa solución era demasiado aburrida y lenta, y no creo que fuera lo que el examinador tenía en mente, ya que se trata de una pregunta del KVPY 2014 SB lo que significa que está pensada para ser resuelta en unos, 2 minutos como máximo en un solo papel aproximadamente. $200\space cm^2$ en la zona.

Puede alguien por favor ayudarme a encontrar un rápido, Exactamente ¿método geométrico para resolver esta cuestión?

EDITAR : La condición del área de papel parece demasiado restrictiva, por lo que cualquier método sintético sería suficiente.

Answer 1

Que la elipse $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{(y-b)^2}{b^2}=1\quad(1)$$ y el semicírculo $$y=\sqrt{1-x^2}\quad(2)$$ La elipse es claramente tangente a $x$ -eje.

Si sustituimos la ecuación del semicírculo en la ecuación de la elipse, obtenemos: $$(a^2-b^2)y^2-2a^2by+b^2=0 \quad(3)$$ Como el semicírculo y la elipse son tangentes el discriminante de la ecuación $(3)$ debe ser cero. Por lo tanto, $$b=\sqrt{a^2(1-a^2)} \quad(4)$$ Pero sabemos que el área de la elipse se puede calcular mediante: $$A=\pi a b \quad(5)$$ Desde $(4)$ y $(5)$ obtenemos: $$A= \pi \sqrt{a^4(1-a^2)} \quad (6)$$ Para calcular el máximo de $A$ podemos utilizar la desigualdad AM-GM: $$(\frac{a^2}{2}\frac{a^2}{2}(1-a^2))^{\frac{1}{3}} \leq \frac{\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{2}+(1-a^2)}{3}=\frac{1}{3} \Rightarrow$$ $$a^2a^2(1-a^2)\leq \frac{4}{27}. \quad(7)$$ Sabemos que la igualdad se mantiene para $$\frac{a^2}{2}=(1-a^2).\quad(8) $$ Por lo tanto, $$a=\sqrt{{\frac{2}{3}}}\quad(9)$$ Desde $(4)$ y $(9)$ obtenemos: $$b=\frac{\sqrt{2}}{3}$$ Finalmente obtenemos $$e=\sqrt{\frac{2}{3}}.$$

Answer 2

Estirar la figura original por un factor $\sqrt{3}$ en dirección vertical. El medio círculo $H$ se convierte en una media elipse $E$ y el triángulo rectángulo isósceles $ABC$ con $C=(0,\sqrt{2})$ se transforma en el triángulo equilátero $\Delta:=ABD$ con $D=(0,\sqrt{6})$ . Las patas oblicuas de $\Delta$ son tangentes a $E$ en sus puntos medios $M$ y $N$ . Ahora resolvemos el problema análogo con respecto a $E$ . I más grande (es decir, la mayor con respecto al área) elipse inscrita en $E$ es el círculo interior $I$ de $\Delta$ . Prueba: Es bien sabido que la mayor elipse contenida en el triángulo equilátero $\Delta$ es $I$ . Como todas las elipses factibles para el problema modificado son subconjuntos de $\Delta$ todos tienen un área $\leq {\rm area}(I)$ . Desde $I$ es una elipse factible, la afirmación es la siguiente.

El radio de $I$ computa a $$r={1\over3}|OD|={\sqrt{6}\over3}\ .$$ Volviendo al problema original vemos que la mayor elipse inscrita en $H$ tiene semiejes $$a=r={\sqrt{6}\over3},\quad b={r\over\sqrt{3}}={\sqrt{2}\over3}\ ,$$ y toca el semicírculo en los puntos $\bigl(\pm{1\over\sqrt{2}}, \>{1\over\sqrt{2}}\bigr)$ . La excentricidad de esta elipse llega a $$e:{\sqrt{a^2-b^2}\over a}=\sqrt{{2\over3}}\ .$$

Answer 3

No sé si existe un método geométrico que proporcione rápidamente la solución. Pero si tuviera que responder a esa pregunta en un par de minutos habría razonado como sigue.

Si $a$ y $b$ son los semiejes mayor y menor de la elipse, espero $b/a\approx 1/2$ Es decir $e\approx\sqrt3/2$ . Las cuatro respuestas propuestas son: $1\over\sqrt2$ , $1\over2$ , $1\over\sqrt3$ , $\sqrt2\over\sqrt3$ y el cuarto es el más cercano a mi estimación.