Cómo demostrar que la cartografía $f\longmapsto f'$ de $H^1(\mathbb{R})$ a $L^2(\mathbb{R})$ ¿está cerrado?

Question

Dejemos que $D:H^1(\mathbb{R})\to L^2(\mathbb{R})$ sea el operador dado por $D(f)=Df$ donde $Df\in L^2(\mathbb{R})$ es la derivada débil de $f$ es decir, la función $Df$ satisface $$\int_\mathbb{R}f(x)\varphi'(x)dx=-\int_\mathbb{R}Df(x)\varphi(x)dx$$ para todos $\varphi\in C^\infty_0(\mathbb{R})$ . Creo que este operador está cerrado, entonces estoy tratando de probarlo y necesito ayuda.

Dejemos que $(h_n)$ sea una secuencia en $H^1(\mathbb{R})$ . Supongamos que existe $h,g\in L^2(\mathbb{R})$ tal que $\|h_n-h\|_{L^2}\to 0$ y $\|Dh_n-g\|_{L^2}\to 0$ . Para demostrar que $D$ es cerrado tenemos que demostrar que $h\in H^1(\mathbb{R})$ y $Dh=g$ . En otras palabras, debemos concluir

$$\int_\mathbb{R}h(x)\varphi'(x)dx=-\int_\mathbb{R}g(x)\varphi(x)dx\tag{1}$$ para todos $\varphi\in C^\infty_0(\mathbb{R})$ .

Observe que

$$\int_\mathbb{R}|h(x)\varphi'(x)+g(x)\varphi(x)|dx\leq 0\Rightarrow\left|\int_\mathbb{R}h(x)\varphi'(x)+g(x)\varphi(x)dx\right|=0\Rightarrow(1).\tag{2}$$

Por lo tanto, basta con demostrar que la desigualdad en $(2)$ se mantiene. Dado que

$$\begin{align*} |h(x)\varphi'(x)+g(x)\varphi(x)|&\leq|h(x)-h_n(x)||\varphi'(x)| +|h_n(x)\varphi'(x)+Dh_n(x)\varphi(x)|+ \\ &+|g(x)-Dh_n(x)||\varphi(x)|, \end{align*}$$ podemos escribir

$$\int_\mathbb{R}|h(x)\varphi'(x)+g(x)\varphi(x)|\leq\int_\mathbb{R}|h(x)-h_n(x)||\varphi'(x)|dx +\\+\int_\mathbb{R}|h_n(x)\varphi'(x)+Dh_n(x)\varphi(x)|dx +\int_\mathbb{R}|g(x)-Dh_n(x)||\varphi(x)|dx.\tag{3}$$

Parece que (por la desigualdad de Hölder) podemos concluir que la primera y la última integral del lado izquierdo de $(3)$ va a cero, pero no sé si esta conclusión es cierta para el segundo. ¿Es un buen enfoque? ¿Cómo podemos terminarlo?

Gracias.

Answer 1

Si observamos el gráfico de $D$ ,

$$\Gamma(D) = \left\lbrace (f, Df) : f \in H^1(\mathbb{R})\right\rbrace \subset L^2(\mathbb{R}) \times L^2(\mathbb{R}),$$

vemos que $\iota \colon H^1(\mathbb{R}) \to \Gamma(D);\; \iota(f) = (f, f')$ es una biyección que es isométrica con respecto a la norma canónica sobre $H^1(\mathbb{R})$ y la norma del producto de Hilbert en $L^2(\mathbb{R})\times L^2(\mathbb{R})$ . Así, $\Gamma(D)$ es un subespacio completo de $L^2(\mathbb{R})\times L^2(\mathbb{R})$ por lo tanto, cerrado. Por lo tanto, $D$ es un operador cerrado.

También podríamos seguir el camino iniciado, si $h_n \xrightarrow{L^2} h$ y $Dh_n \xrightarrow{L^2} g$ entonces $(h_n)$ y $(Dh_n)$ son ambas secuencias de Cauchy en $L^2$ y eso significa que $(h_n)$ es una secuencia de Cauchy en $H^1$ . Desde $H^1$ está completo, hay un $h^\ast \in H^1$ con $h_n \xrightarrow{H^1} h^\ast$ . Pero eso no significa otra cosa que

• $h_n \xrightarrow{L^2} h^\ast$ y
• $Dh_n \xrightarrow{L^2} Dh^\ast$ .

Lo que implica $h = h^\ast$ y $g = Dh^\ast$ Así que $(h,g) \in \Gamma(D)$ .