Cuándo es un punto singular de una variedad ( $\mathcal{C}^\infty$ -) ¿suave?

Question

Si $X$ es una variedad algebraica (o analítica) no singular sobre $\mathbb C$ o $\mathbb R$ entonces es ciertamente $C^\infty$ sobre los reales.
Lo contrario es falso por una razón tonta: en el plano afín real o complejo con coordenadas $x,y$ la variedad $x^2=0$ es singular ya que no se reduce, pero teóricamente es el conjunto $y$ -eje, a $C^\infty$ submanifold del plano.
Así que permítanme concentrarme en las variedades reducidas.

Sobre los reales se da el inquietante fenómeno de que la curva plana $C$ definido por $y^3+2x^2y-x^4=0$ es algebraicamente singular en el origen, pero su sistema gráfico favorito no se lo mostrará, porque la curva es en realidad $C^\infty$ .
Peor aún: ¡es la gráfica de una función analítica real! (Este ejemplo lo aprendí en el libro de Milnor Puntos singulares de hipersuperficies complejas )

Creo que esta patología es imposible sobre $\mathbb C$ pero no puedo encontrar una referencia. Así que permítanme hacer la pregunta oficial:

¿Puede una variedad algebraica reducida (o analítica) que tiene una singularidad en un punto ser $C^\infty$ ¿en ese momento?

(Se agradece la información sobre el caso real más complicado, por supuesto)

Editar La respuesta de Francesco demuestra que, efectivamente, una variedad compleja singular no puede ser lisa.
Esto es bastante interesante, porque muchos libros te darán el criterio jacobiano para un mapa $\mathbb C^n\to \mathbb C^k$ para definir una submanifold pero ninguno (que yo sepa) añade que este criterio jacobiano también permite demostrar no hay suavidad (modulando algunos tecnicismos), lo que paradójicamente es una cuestión más delicada.

Segunda edición (29 de junio de 2012)) Aquí hay una prueba más geométrica que la de Milnor de que la curva $X$ definido por $y^3+2x^2y-x^4=0$ es un submanifold analítico de $\mathbb R^2$ .
La curva $X$ es realmente racional: es la imagen de $\mathbb R$ en $\phi (t)=(t(t^2+2),t^2(t^2+2))$ .
El morfismo analítico $\phi$ es inyectiva, propia e inmersiva, por lo que es una incrustación en $\mathbb R^2$ con imagen cerrada $X$ . [Se reduce al hecho de que el polinomio $t^3+2t$ tiene una derivada positiva $3t^2+2$ y por lo tanto es estrictamente creciente]

Answer 1

NB: Esta respuesta está dirigida a las preguntas sobre el caso real, no al caso complejo, que ya fue tratado por Francesco. Añadido el 5 de julio de 2021: Debido a algunas preguntas que he recibido a lo largo de los años desde que esto fue escrito, me he dado cuenta de que hay algunos lugares en los que la lógica y el flujo no son completamente transparentes, así que he decidido hacer algunos pequeños cambios para aclarar esos puntos.

En cierto sentido, la razón por la que te encuentras con estos "problemas" es que estás trabajando con el anillo de polinomios reales en lugar del anillo de (gérmenes de) funciones analíticas de valor real, que también es un UFD. Por ejemplo, no es difícil demostrar que existe una (única) función analítica de valor real $f$ definido en una vecindad de $0$ y satisfactorio $f(0)=\frac12$ tal que $$ y^3 + 2x^2y-x^4 = \bigl(y - x^2f(x^2)\bigr)\bigl(y^2 + x^2f(x^2) y + x^2/f(x^2)\bigr), $$ así que $y^3 + 2x^2y-x^4$ es reducible en el anillo de funciones analíticas reales definidas en una vecindad del origen. La curva $y = x^2f(x^2)$ es suave (de hecho, real-analítica, por supuesto), pero el $y$ -El discriminante del factor cuadrático es $x^4f(x^2)^2-4x^2/f(x^2) = -8x^2 + \cdots$ Así que el único punto real de $y^2 + x^2f(x^2) y + x^2/f(x^2)=0$ cerca del origen es el propio origen. (El factor cuadrático es irreducible en el anillo de funciones analíticas de valor real definidas en una vecindad del origen).

Por lo tanto, una pregunta más fácil de abordar es: Supongamos que el origen es un cero singular de una irreducible elemento $f$ en el anillo de funciones analíticas de valor real definidas en una vecindad del origen (es decir, gérmenes analíticos reales). ¿Puede el lugar cero de $f$ sea una hipersuperficie real-analítica no singular cerca del origen?

La respuesta a esta pregunta es "no" porque cerca de un punto no singular de dicha hipersuperficie, siempre habrá una función analítica real $g$ que desaparece en él y cuya diferencial en ese punto es no evanescente. Sin embargo, esto implicará que $g$ es un factor de $f$ que se supone irreducible.

Queda la cuestión de si el lugar cero de un germen real-analítico irreducible $f$ que es singular en el origen podría contener un suave hipersuperficie que pasa por el origen. La respuesta a esto también es "no", pero hay que trabajar un poco para verlo.

El caso de una curva no es difícil, utilizando algunos hechos estándar sobre la resolución de singularidades de la curva: Si $f(x,y)$ es una función analítica de valor real, no nula, definida en una vecindad del origen en $\mathbb{R}^2$ que es irreducible en el anillo de gérmenes analíticos en el origen y satisface $f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$ , entonces el locus $f(x,y)=0$ no puede contener una curva suavemente incrustada que pase por el origen.

A continuación se presenta un esquema de la prueba: Si el origen no está aislado, entonces $f(z,w)$ es un $\mathbb{C}$ -función analítica definida en una vecindad del origen en $\mathbb{C}^2$ que también es irreducible en este anillo mayor, y por lo tanto hay una vecindad del origen en $\mathbb{C}^2$ tal que, en esta vecindad, el locus $f(z,w)=0$ puede ser parametrizado por un disco incrustado en $\mathbb{C}$ en la forma $(z,w) = (a(\tau),b(\tau))$ donde $a$ y $b$ son funciones analíticas de $\tau$ para $|\tau| < 1$ con $a(0)=b(0)=0$ . Por una rotación (real), podemos suponer que $a$ desaparece en un orden inferior, por ejemplo $k>1$ que $b$ hace. Así, podemos reparametrizar en $\tau$ para que $a(\tau) = \tau^k$ para algunos $k>1$ . En particular, el lugar real estará parametrizado por algunas curvas de la forma $\tau = \omega\,t$ donde $t$ es real y $\omega^k = \pm 1$ . Eligiendo una de estas curvas y sustituyendo $t$ por $t/\omega$ podemos suponer que $(a(t),b(t))$ es real para todos los pequeños reales $t$ y que esto parametriza una "rama" del lugar real que pasa por el origen. En particular, los coeficientes de $b$ son reales, por lo que nuestra curva está parametrizada en la forma $$ (x,y) = \bigl(\ t^k,\ b_l t^l + b_{l+1} t^{l+1} + \cdots\ \bigr) $$ donde $l>k$ y, debido a la propiedad de incrustación del disco, el máximo común divisor de $k$ y los $m$ para lo cual $b_m\not=0$ debe ser $1$ . Así, la curva se expresa en la forma $$ y = b_l\ x^{l/k} + b_{l+1}\ x^{(l+1)/k} + \cdots $$ donde al menos uno de los exponentes de esta serie no es un número entero. Se deduce que la función del lado derecho de esta ecuación no puede ser suave en $x=0$ aunque, desde $l>k$ Es decir, es $C^1$ .

Una conclusión de todo esto es que, si $g$ es un valor real suave en una vecindad de $0\in \mathbb{R}$ tal que $g(0)=0$ y tal que existe una real-analítica no trivial $f$ definido en una vecindad de $(0,0)$ tal que $f\bigl(x,g(x)\bigr)\equiv0$ para $x$ en el ámbito de $g$ entonces $g$ debe ser realmente real-analítica en un barrio de $0$ . (Sin embargo, hay que tener en cuenta que existen tales "restricciones analíticas reales". $g$ que, para algunos $m>0$ son $C^m$ pero no $C^{m+1}$ en $x=0$ .)

Ahora, un argumento fácil muestra que esto $1$ -implica la correspondiente $n$ -hecho variable: Si $g$ es un valor real suave en una vecindad de $0\in \mathbb{R}^n$ tal que $g(0)=0$ y tal que existe una real-analítica no trivial $f$ definido en una vecindad de $(0,0)\in\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}$ tal que $f\bigl(x,g(x)\bigr)\equiv0$ para $x$ en el ámbito de $g$ entonces $g$ debe ser realmente real-analítica en un barrio de $0\in\mathbb{R}^n$ . (Básicamente, las hipótesis y los $1$ -resultado variable implican que $g\circ x$ es real-analítica para cualquier germen real-analítico de una curva $x:(\mathbb{R},0)\to(\mathbb{R}^n,0)$ y esto implica fácilmente que $g$ es real-analítica en una vecindad de $0\in\mathbb{R}^n$ .)

Así, tenemos la respuesta a la pregunta Supongamos que el origen es un cero singular de un elemento irreducible $f$ en el anillo de funciones analíticas de valor real definidas en una vecindad del origen. ¿Puede el lugar cero de $f$ sea un no-singular suave hipersuperficie cerca del origen?

La respuesta es "no", porque suave implicaría real-analítica Y ya hemos visto que esto no puede ocurrir.

Answer 2

De hecho, la respuesta es no .

Una variedad compleja $X$ no puede ser nunca una variedad diferenciable (ni siquiera de clase $C^1$ ) en toda la vecindad de un punto singular.

Puede encontrar una prueba en el libro de Milnor " Puntos singulares de hipersuperficies complejas ", Anales de Estudios Matemáticos 61 Observación en la página 13.

Observe que $X$ puede ser una variedad topológica (es decir, una variedad de clase $C^0$ ) en una vecindad de un punto singular. Por ejemplo, el plano cúspide cúbico $y^2z=x^3$ es homeomorfo a $\mathbb{P}^1$ .

Answer 3

Como dijo Francesco Polizzi, la respuesta es, de hecho, no. Aquí, una respuesta más general.

Dejemos que $X\subset \mathbb{C}^n$ sea un conjunto analítico complejo con $d=\dim X$ y $x\in X$ sea un punto singular, entonces:

1) no hay ningún homeomorfismo $\varphi:(X,x)\to (\mathbb{C}^d,0)$ tal que $\varphi$ (resp. $\varphi^{-1}$ ) es diferenciable en $x$ (resp. $0$ ), para una prueba ver el Documento de Gau y Lipman (1983) .

2) no hay ningún homeomorfismo bi-Lipschitz $\varphi:(X,x)\to (\mathbb{C}^d,0)$ Para demostrarlo, véase el Teorema 4.2 en el Documento de Sampaio (2016) .

Dejemos que $Y\subset \mathbb{R}^n$ sea un conjunto analítico real con $d=\dim X$ y $x\in X$ sea un punto singular, entonces no hay $C^{\infty}$ difeomorfismo $\varphi:(X,x)\to (\mathbb{R}^d,0)$ ya que dos conjuntos analíticos reales $C^{\infty}$ difeomorfos son difeomorfos analíticos reales, véase por ejemplo la Proposición 1.1 en el Documento de Ephraim (1973) .

Answer 4

Para el caso real, aquí hay otro ejemplo: el gráfico de ${\mathbb R}^2$ de $ y = x (1 + x^2)^{1/3} $ es analítica real y es la ${\mathbb R}$ -puntos de un variedad definida sobre ${\mathbb R}$ , pero el origen es singular; la ecuación definitoria es $ y^3 = x^3 + x^5 $ .