En el libro "Piers Coleman - Introduction to Many-Body Physics (2016, Cambridge University Press)" http://download.library1.org/main/1558000/6a62454463a644d8b5cfa7936cf355de/Piers%20Coleman%20-%20Introduction%20to%20Many-Body%20Physics-Cambridge%20University%20Press%20%282016%29.pdf en la página 25 ¿alguien puede decirme cómo viene el término de energía potencial?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Cuando se está sumando sobre todos los puntos de una red unidimensional con condiciones de contorno periódicas, se puede desplazar el índice de suma. Por ejemplo,
$$\sum_j f_j = \sum_j f_{j+1} = \sum_j f_{j-1}$$
porque todos ellos suman sobre todos los $f$ 's.
Empieza por ampliar el cuadrado,
$$\sum_j(\phi_j-\phi_{j+1})^2 = \sum_j(\phi_j^2 - 2\phi_j\phi_{j+1} + \phi_{j+1}^2).$$
Reescribe esto como
$$\sum_j(\phi_j^2 + \phi_{j+1}^2 - \phi_j\phi_{j+1} - \phi_j\phi_{j+1}).$$
En el segundo y cuarto trimestre, el cambio $j \to j-1$ , dando
$$\sum_j(\phi_j^2 + \phi_j^2 - \phi_j\phi_{j+1} - \phi_{j-1}\phi_j).$$
Esto se factoriza como
$$\sum_j \phi_j(2\phi_j - \phi_{j+1} - \phi_{j-1}).$$
