Sección global del haz universal en Grassmanian

Question

Dejemos que $G=G(k, V)$ sea el Grassmaniano de $k$ -subespacios dimensionales de la $n$ espacio vectorial dimensional $V$ considerada como una variedad algebraica suave sobre $\mathbb{C}$ . Denote con $S$ el haz tautológico (universal) sobre $G$ .

En la obra de Kapranov "Coherent sheaves on Grasmann manifold" se exponen los siguientes resultados:

$H^0(G, S^*) \simeq V^*$ y $H^0(G, V/S) \simeq V$

El autor afirma que "estos hechos son bien conocidos".

Sin embargo, después de investigar mucho, no he podido encontrar esta afirmación en ninguna de las referencias en las que la he buscado.

Es razonable que la prueba tenga que hacerse "a mano", como en el caso de la gavilla tautológica $\mathcal O (-1)$ en $\mathbb{P}^n$ .

¿Tiene alguna sugerencia?

Answer 1

Tampoco conozco una referencia pero se puede argumentar lo siguiente:

Dejemos que $U\subseteq V$ ser de dimensión $k$ y que $P$ sea su estabilizador en $GL(V)$ . Entonces el morfismo $\pi:S=GL(V)\times^PU\to V$ es propia y suryente. Además se comprueba que todas sus fibras son irreducibles. La normalidad de $V$ implica $\pi_*\mathcal O_S=\mathcal O_V$ en particular, cada función global sobre $S$ es un retroceso de $V$ . Especialización en funciones homogéneas de grado $1$ se obtiene $H^0(G,S^*)=V^*$ . La otra igualdad se obtiene del hecho de que $U\mapsto U^\perp=(V/U)^*$ produce un isomorfismo entre $Gr_k(V)$ y $Gr_{n-k}(V^*)$ (con $n=\dim V$ ).