Ampliación de una base de un subespacio a una base de un espacio vectorial

Question

No estoy muy seguro de cómo extender una base. Estoy tratando de hacer la siguiente pregunta.

Considere el subespacio $ W = \{(x_1, x_2, x_3, x_4) \in \mathbb {R}^4 : x_1 = -x_4, x_2 = x_3\}$ de $ \mathbb {R}^4$ . Ampliar la base $\{(0,2,2,0),(1,0,0,-1)\}$ de $W$ a una base de $ \mathbb {R}^4$ .

Sé que necesito añadir otros dos vectores para que sea una base de $ \mathbb {R}^4$ pero no estoy seguro de cómo elegir los vectores. En general, ¿cómo se amplía una base?

Answer 1

Podrías tomar un subespacio bidimensional diferente $X = \{(x_1, x_2, x_3, x_4) \in \mathbb{R}^4 : x_1 = x_4, x_2 = -x_3\}$ que tiene una intersección trivial con $W$ y encontrar una base para ello, por ejemplo $\{(0,2,-2,0),(1,0,0,1)\}$ .

Answer 2

Una pista: Cualquier $2$ vectores adicionales, siempre que el resultado sea $4$ vectores forman un conjunto linealmente independiente. Hay muchas opciones. Yo me decantaría por un par de vectores muy simples y comprobaría la independencia lineal. O compruebe que puede expresar los vectores de la base estándar como combinaciones lineales de su $4$ vectores.

Answer 3

Pon esos vectores en las filas de una matriz de A. Por definición de equivalencia de filas, la forma escalonada reducida de filas de A, llámala R, tiene el mismo espacio de filas que A. Ahora es fácil ver qué vectores no están en row(R). Una solución fácil para sus vectores extendidos, por ejemplo, cada uno debe tener un 1 en una de las variables libres, y 0 en todas las demás variables.

Answer 4

Escribe los vectores dados con $e_1, e_2, e_3, e_4$ la base estándar de $\mathbb{R}^4$ en las columnas de una matriz. Mediante algunas operaciones de fila tendrás cuatro vectores linealmente independientes que serán la base.

Answer 5

Supongo que la forma más sencilla de abordar el problema es la siguiente. Consideremos el complemento ortogonal del subespacio. Un poco de ensayo e inspección muestra que lo es,

$ W^{\perp} = \{(y_1, y_2, y_3, y_4) \in \mathbb{R}^4 : y_1 = y_4, y_2 = - y_3\}$ .

También es muy fácil encontrar una base para este subespacio. Lo es,

$ \beta=\{ (1,0,0,1), (0,1,-1,0) \}$ .

Utilizando el resultado de que cualquier espacio vectorial puede escribirse como una suma directa del subespacio a y su complemento ortogonal, se puede derivar el resultado de que la unión de la base de un subespacio y la base del complemento ortogonal de sus subespacios genera el espacio vectorial. Puedes demostrarlo por ti mismo.

Por lo tanto, tome la unión de $\beta$ y su base para obtener el resultado.