Estoy tratando de formular con cierto rigor una definición semiclásica del Límite de Schwinger sobre la fuerza del campo magnético, pero hay agujeros que hay que parchear. Actualmente, la siguiente formulación no es satisfactoria y necesito ayuda al respecto.
Considere la posibilidad de que un electrón caiga en un campo magnético estático uniforme . La velocidad inicial es perpendicular a las líneas del campo magnético. Según la ecuación de Newton (teniendo en cuenta la relatividad especial), el electrón seguirá una trayectoria circular de radio \begin{equation}\tag{1} r = \frac{\gamma \, m_0 \, v}{e B} \equiv \frac{p}{e B}. \end{equation} Esta relación muestra que si el campo $B$ es muy fuerte, el radio será pequeño : $r \rightarrow 0$ cuando $B \rightarrow \infty$ . Para un campo dado, el radio también será pequeño si el momento $p$ es pequeño : $r \rightarrow 0$ cuando $p \rightarrow 0$ .
El movimiento circular clásico está bien definida sólo cuando las incertidumbres son relativamente pequeñas : $r \gg \Delta r$ y $p \gg \Delta p$ . La moción será mecánica cuántica (es decir, movimiento circular no bien definido) cuando el campo es muy fuerte y el momento lo suficientemente bajo : $r \approx \Delta r_{\text{min}}$ y $p \approx \Delta p_{\text{min}}$ (por la simetría del movimiento circular, supongo que $\Delta x = \Delta y \approx \Delta r$ y $\Delta p_x = \Delta p_y \approx \Delta p$ , que me siento inseguro ). Así que (1) podría definir el régimen mecánico cuántico : \begin{equation}\tag{2} \Delta r_{\text{min}} \approx \frac{\Delta p_{\text{min}}}{e B}. \end{equation} El principio de incertidumbre de Heisenberg impone una restricción al valor de $\Delta r_{\text{min}}$ y $\Delta p_{\text{min}}$ : \begin{equation}\tag{3} \Delta r_{\text{min}} \, \Delta p_{\text{min}} \approx \frac{\hbar}{2}. \end{equation} Sustituyendo (2) en (3) se obtiene esta restricción en el campo magnético, para obtener un régimen mecánico cuántico : \begin{equation}\tag{4} B \approx \frac{2 \Delta p_{\text{min}}^2}{e \hbar}. \end{equation} Actualmente, la incertidumbre $\Delta p_{\text{min}}$ es arbitraria. El movimiento será mecánico cuántico en cuanto $p \approx \Delta p_{\text{min}}$ y (4) se cumplen. El movimiento de la partícula será relativista cuántico cuando $p \approx \Delta p_{\text{min}} \approx m_0 \, c$ por lo que (4) se convierte en \begin{equation}\tag{5} B \approx \frac{2 m_0^2 \, c^2}{e \hbar}, \end{equation} que es el Límite de Schwinger (hasta un factor de 2). Para campos magnéticos más fuertes que éste, el movimiento de la partícula será ultrarrelativista.
Ahora, hay algo sospechoso con esta derivación que no veo claramente. ¿Qué hay de malo en este razonamiento? ¿Dónde están los agujeros en la derivación mostrada arriba? Además, ¿hay una forma más sencilla de obtener (5), con cierto rigor en el razonamiento?
El problema puede estar en la interpretación física y la redacción, no sólo en las matemáticas (que son fáciles).
EDITAR : Es más sencillo y preciso (?) utilizar el momento angular en lugar del principio de Heisenberg : \begin{equation}\tag{6} L = r \, p = \frac{p^2}{e B} \approx \hbar. \end{equation}
