$\frac{'ab'}{'ba'}=\frac{'bc'}{'cb'}$

Question

Pregunta:

Escribimos $'pq'$ para denotar un número entero de dos dígitos con una cifra de diez $p$ y el dígito de las unidades $q$ . Para qué valores de $a,b$ ay $c$ son las dos fracciones $\frac{'ab'}{'ba'}$ y $\frac{'bc'}{'cb'}$ igual y diferente de $1$ ?

Mi intento:

Entonces, escribe esto usando "álgebra normal"; $$\frac{10a+b}{10b+a}=\frac{10b+c}{10c+b}$$ Multiplica por los dos denominadores: $$(10a+b)(10c+b)=(10b+c)(10b+a)$$ Multiplica hacia fuera: $$100ac+10ab+10bc+b^2=100b^2+10ab+10bc+ac$$ Y podemos restar $(10ab + 10bc) $ de cada lado. Nos quedamos con: $$100ac+b^2=100b^2+ac$$ Lo cual, reordenando, obtenemos $$99ac=99b^2$$ lo que equivale a (si dividimos por $99$ ) $$ac=b^2$$
$$[a,b,c]\neq 0$$ Ya que todas son partes de la cifra de las decenas, y si son $0$ Entonces no serán un número de dos dígitos, lo cual es vital. $a \neq b$ ya que si fueran $=$ la fracción sería $= 1$ y tampoco puede darse esta relación entre $b \neq c$

Todo esto fue escrito en papel por mí. ¿Puede alguien ayudarme a terminar esto?

Answer 1

Hasta ahora se ve bien. Ahora sólo tienes que escribir todas las formas que $b^2 = ac$ para $1 \leq a, b, c \leq 9$ , $a \neq b$ , $b \neq c$ : $$\begin{align*} 2^2 &= 1 \times 4 \\ 3^2 &= 1 \times 9 \\ 4^2 &= 2 \times 8 \\ 6^2 &= 4 \times 9 \end{align*} $$ Cada una de ellas da dos soluciones; por ejemplo $2^2 = 1 \times 4$ da $(a, b, c) = (1, 2, 4)$ o $(a, b, c) = (4, 2, 1)$ . El criterio $b^2 = ac$ afirma que $a, b, c$ están en una progresión geométrica; si la razón común de esta progresión es $r$ entonces $'bc' = r \times {'ab'}$ y $'cb' = r \times {'ba'}$ Así que esto debería tener un sentido intuitivo.