Estoy tratando de encontrar $\lim_{x \rightarrow0} (1-3 \cdot x)^{\frac{1}{x}}$
Pensé en encontrar el límite de
$$(1-3 \cdot x)^{\frac{1}{x}}= e^{\frac{\ln(1-3 \cdot x)}{x}}$$
Pero eso sólo funciona si $e^{\frac{\ln(1-3 \cdot x)}{x}}$ es continua en $x=0$ que, por lo que tengo entendido, no lo es. ¿Estoy en lo cierto? Y si lo estoy, ¿cómo encuentro el límite?
Merci !
En lugar de trabajar con $e^{\frac1x\ln(1-3x)}$ Trabajar con $\frac{\ln(1-3x)}x$ directamente: las hipótesis de la regla de l'Hospital se satisfacen, por lo que se puede utilizar para encontrar $$\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1-3x)}x=\lim_{x\to 0}\ln (1-3x)^{1/x}=\ln\lim_{x\to 0}(1-3x)^{1/x}\;,$$ y luego simplemente exponer para obtener el límite deseado.
Siguiendo las ideas de Simon y Prasad: si sabes que $\,\displaystyle{\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{a}{f(x)}\right)^{f(x)}=e^a}\,$ para cualquier función $\,f(x)\,$ s.t. $\,\displaystyle{\lim_{x\to\infty} f(x)=\infty}\,$ , entonces has terminado como $$\lim_{x\to 0}(1-3x)^{1/x}=\lim_{x\to 0}\left(1-\frac{3}{1/x}\right)^{1/x}=e^{-3}$$
Como en el caso anterior, el límite es $e^{-3}$ . Su función no tiene que estar definida en $x = 0$ ; sólo te interesa el límite al que tiende como $x \to 0$ .
Mi funcionamiento sería el siguiente:
$$ \begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} (1-3x)^{1/x} &=& \lim_{x\to 0} e^{1/x \ln (1-3x)} \\ &=& e^{\lim_{x\to 0}1/x\ln (1-3x)} \\ &=& e^{\lim_{x\to 0} \frac{\frac{-3}{1-3x}}{1}} \text{ by l'Hospital} \\ &=& e^{-3} \end{eqnarray*} $$
No estoy seguro de si estoy abusando de la notación aquí o si me estoy basando en suposiciones implícitas (tal vez la continuidad de $e^{x}$ cuando tomo el límite en el exponente). Pero esto es sólo cómo yo lo resolvería por mí mismo.
Espero que le sirva de ayuda :-)
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