Para una distribución regular $T_f$ , donde $f$ se define en $\mathbb R^n$ , $$ \langle T_f, \varphi\rangle := \int_{\mathbb R^n} f(x) \varphi(x) dx. $$ El producto tensorial de dos distribuciones $S$ y $T$ se define por $$ \langle T \otimes S, \varphi \rangle := \langle T, \langle S, \varphi_\cdot \rangle \rangle, $$ donde $$ \varphi_\cdot(y) = \varphi(\cdot, y). $$ Si $T_f$ y $T_g$ son dos distribuciones regulares, donde $f$ se define en $\mathbb R^n$ y $g$ en $\mathbb R^m$ entonces $$ \langle T_f \otimes T_g, \varphi \rangle = \int_{\mathbb R^n \times \mathbb R^m} f(x) g(y) \varphi(x, y) dx dy, $$ por lo que el producto tensorial de la distribución es un caso especial de una distribución regular, es decir $T_f \otimes T_g = T_h$ , donde $h(x,y)=f(x)g(y)$ . ¿Es esto correcto?
Respuesta
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Esto es correcto. Por la definición del producto tensorial de las distribuciones,
$$ \langle T_f \otimes T_g, \varphi \rangle = \langle T_f, x \mapsto \int_{\mathbb R^m} g(y) \varphi(x, y) dy \rangle = \int_{\mathbb R^m} f(x) \int_{\mathbb R^m} g(y) \varphi(x, y) dy dx, $$ que por el teorema de Fubini es igual a la integral que describes en tu pregunta.
