¿Cómo puedo demostrarlo? $\prod\frac{p^2+1}{p^2-1}=\frac{5}{2}$ sin utilizar las propiedades de la función zeta de Riemann?

Question

Para saber más sobre el producto sobre primos ,me gustaría saber cómo se demuestra que : $$\prod\frac{p^2+1}{p^2-1}=\frac{5}{2}$$ sin utilizar las propiedades de la función zeta de Riemann?

Nota01 La información que se ofrece en la página web de la Comisión es la siguiente: es bien sabido que $$\prod\frac{p^2+1}{p^2-1}=\frac{{\zeta}^2(2)}{\zeta(4)}=\frac{5}{2}$$ ¿pero hay algún otro método para demostrarlo?

Nota 02 :Deseo utilizar las propiedades de la función divisor

Gracias por cualquier ayuda

Answer 1

Este es un problema bien conocido, atribuido a Sam Wagstaff en la obra de Richard Guy Problemas no resueltos de la teoría de los números . La sección B48 "Productos tomados sobre primos" incluye un párrafo

Wagstaff pidió una prueba elemental (por ejemplo, sin utilizar las propiedades de la función zeta de Riemann que $$\prod_p \frac{p^2+1}{p^2-1} = \frac52 $$ donde el producto se toma sobre todos los primos. Parece muy poco probable que exista una prueba que no implique métodos analíticos. A primera vista podría parecer que las fracciones se cancelan, pero ninguno de los numeradores es divisible por 3 [. . .]

con una referencia a

David Borwein & Jonathan M. Borwein, Sobre una integral intrigante y algunas series relacionadas con $\zeta(4)$ , Proc. Amer. Math. Soc. , 123 (1995) 1191-1198; MR 95e :11137.

Answer 2

Sí, como se ha señalado varias veces en los comentarios, esto ha surgido antes, con una hermosa respuesta de David Speyer: Informática $\prod_p(\frac{p^2-1}{p^2+1})$ sin la función zeta?

Me parece que esto debería poner fin a la presente cuestión. La única "propiedad" de la función zeta de Riemann utilizada es la expansión de Euler $\sum_{n \geq 1} \frac1{n^s} = \prod_p \frac1{1 - p^{-s}}$ pero la demostración de esto se reduce al teorema fundamental de la aritmética, que se remonta a los Elementos de Euclides, creo, así que no diría que esto utiliza propiedades (analíticas) de la función zeta. Aparte de eso, la demostración de David (que es elemental en el sentido técnico) hace el resto.