Demostrar que las temperaturas absolutas negativas son realmente más calientes que las positivas

Question

¿Podría alguien proporcionarme una prueba matemática de por qué, un sistema con un absoluto temperatura Kelvin negativa (como el de un sistema de espín) es más caliente que cualquier sistema con temperatura positiva (en el sentido de que si un sistema de temperatura negativa y otro de temperatura positiva entran en contacto, el calor fluirá del sistema de temperatura negativa al de temperatura positiva).

Answer 1

Ninguna de las respuestas anteriores es correcta. La respuesta de Matt Thompson está cerca.

El PO pide una prueba matemática de que

si un sistema de temperatura negativa y otro de temperatura positiva entran en contacto, el calor fluirá del sistema de temperatura negativa al de temperatura positiva

No hay ninguna prueba de esta afirmación porque es incorrecta

En mecánica estadística la temperatura se define como \begin{equation} \frac{1}{T} = \frac{\partial S}{\partial E} \end{equation}

es decir, una derivada de $S$ . Para $\it normal$ sistemas, como los gases ideales, etc. $S(E)$ es una función altamente convexa de $E$ y existe una relación de 1 a 1 entre el macroestado del sistema y su temperatura.

Sin embargo, en los casos en que $S$ no es una función convexa de $E$ , $\frac{\partial S}{\partial E}$ puede tomar el mismo valor numérico a diferentes energías $E$ y por lo tanto la misma temperatura. En otras palabras, $T$ A diferencia de $E$ no describe -en general- de forma única el macroestado de un sistema. Esta situación se da en sistemas que tienen una temperatura Boltzmann negativa (detalle: para una temperatura Boltzmann negativa $S$ tiene que ser no monótona en $E$ ).

Un sistema aislado 1 con una temperatura Boltzmann negativa $T_B<0$ puede tener mayor o menor energía interna $E_1/N$ que otro sistema aislado, el sistema 2, al que se acopla.

Dependiendo de qué sistema tenga una mayor $E_i/N, i=1,2$ el calor fluye del sistema 1 al sistema 2 o viceversa, independientemente de las temperaturas de los dos sistemas antes del acoplamiento. Para más detalles, véase

• Termodinámica en sistemas aislados

A continuación adjunto la Fig. 1, tomada de la versión arxiv de este trabajo para ilustrar este hecho.

PS

1. No soy autor de ninguno de los artículos citados.

2. La termodinámica es compatible con el uso de la entropía de Gibbs, pero no con la entropía de Boltzmann. La demostración de esto es una prueba de cuatro líneas, ver este artículo de Nature Physics La termoestática consistente prohíbe las temperaturas absolutas negativas . La temperatura de Gibbs (a diferencia de la temperatura de Boltzmann) es siempre positiva, $T>0$ .

3. El intento anterior de @Nathaniel de una prueba puramente termodinámica de la afirmación del PO se basa en la premisa de que $T<0$ es compatible con la termodinámica. Esto no es así, véase el punto 2. La prueba dada no es válida.

4. Para los sistemas normales, la distinción entre la temperatura de Gibbs y la de Boltzmann es prácticamente irrelevante. Sin embargo, la diferencia se vuelve drástica cuando se consideran casos límite, por ejemplo, Hamiltonianos truncados o sistemas con densidades de estados no monótonas. De hecho, en la mayoría de los cálculos de los libros de texto de mecánica estadística se utiliza la entropía de Gibbs en lugar de la entropía de Boltzmann. Recuerde calcular "todos los estados hasta la energía $E$ " en lugar de "todos los estados de un $\epsilon$ shell a la energía $E$ "? Esa es toda la diferencia.

5. Hay toda una serie de intentos de publicar comentarios sobre la Artículo de Nature Physics por Dunkel y Hilbert, pero todos fueron rechazados. Todas ellas siguen el patrón de intentar crear una contradicción, pero ninguna fue capaz de hacer un agujero en el breve argumento matemático de Dunkel y Hilbert.

Answer 2

Temperatura negativa - sí, me encontré con eso una vez: creo recordar que es el estado que surge cuando, digamos, tienes un sistema de dipolos magnéticos en un campo magnético, y han llegado a una distribución de equilibrio de orientaciones ... y luego el campo magnético se invierte de repente y la distribución es momentánea hacia atrás - básicamente la distribución dada al sustituir a negativo valor de T . Probablemente se pueden pensar o hacer realidad otros escenarios que podrían ocasionar esta noción de manera similar. Creo que posiblemente la respuesta sea que el sistema es totalmente fuera del equilibrio termodinámico, por lo que la "temperatura" es sólo la variable que antes fue realmente una temperatura, y ahora es simplemente un artefacto que da esta distribución de no-equilibrio cuando rudamente conectado a la fórmula de distribución. Así que el calor se transfiere porque ahora tienes un sistema altamente excitado y totalmente fuera de equilibrio que incide sobre un sistema que se aproxima a un depósito de calor. Creo que no es cuestión de contabilizar la transferencia de calor por la habitual método, es decir, cuando ambas temperaturas son positivas, de introducir la temperatura diferencia como lo que impulsa la transferencia.

¿Y sería incluso calor transferencia en todos si la energía procede de una fuente totalmente fuera del equilibrio termodinámico? Es más, la energía transferida es convirtiéndose en calor, diría yo.