¿converge esta secuencia real de integrales?

Question

Si $(f_n)$ es una secuencia de funciones en $C[0,1]$ y $f_n \rightarrow f$ uniformemente en [0,1] entonces $ \int_0^{1-\frac{1}{n}} f_n \rightarrow \int_0^1 f$ . ¿Verdadero o falso? Creo que es falso, pero me cuesta encontrar un contraejemplo.

Answer 1

Una pista: $$ \int_0^{1-1/n} |f(x) - f_n(x)| dx + \int_{1-1/n}^1 |f(x)-0|dx $$ $$ \leq \sup_n |f-f_n| (1-\frac1n) + \sup|f|\frac1n $$ $$ \to 0\cdot 1+\sup |f| \cdot 0. $$ $$ = 0 $$