Distribuir el suministro infinito de $n$ objetos distintos en $k$ urnas idénticas

Question

Tengo $n$ distintivo objetos, a saber { $n_{1\le i \le n}$ } con un infinito suministro de cada uno de ellos, y tengo $k$ idéntico , urnas indistintas para colocar los objetos. Cada urna contendrá exactamente un artículo.

Dejemos que $P(n,k)$ sea el número de formas de hacerlo.

$P(2,2)=3$ . Hay 3 formas diferentes de hacerlo: { $n_1,n_1$ }, { $n_2,n_2$ }, { $n_1,n_2$ }

$P(3,3)=10$ porque: { $n_1,n_1,n_1$ }, { $n_2,n_2,n_2$ }, { $n_3,n_3,n_3$ },{ $n_1,n_1,n_2$ }, { $n_1,n_1,n_3$ },{ $n_2,n_2,n_1$ }, { $n_2,n_2,n_3$ }, { $n_3,n_3,n_1$ }, { $n_3,n_3,n_2$ }, { $n_1,n_2,n_3$ }

Tenga en cuenta que no me constriño a $n=k$ aunque estos eran mis ejemplos. ¿Cuál es la fórmula/solución general para $P(n,k)$ ¿si es que existe?

Gracias de antemano.

Answer 1

Se trata de una reformulación no estándar del problema habitual de las barras y las estrellas (véase Wikipedia). Sea $x_i$ es el número de urnas que contendrán un objeto de tipo $i$ . Queremos encontrar el número de soluciones en enteros no negativos de la ecuación $x_1+\cdots+x_n=k$ .

El número de soluciones es $\binom{k+n-1}{n-1}$ o, por el contrario $\binom{k+n-1}{k}$ .