Dejemos que $f$ sea un polinomio con al menos $k$ diferentes raíces, demostrar que $f'$ tiene al menos $k-1$ diferentes raíces

Question

No sé cómo escribir la prueba de este problema:

Dejemos que $f$ sea un polinomio con al menos $k$ diferentes raíces, demostrar que $f'$ tiene al menos $k-1$ diferentes raíces.

Aparece entre unos cuantos ejercicios hechos para aplicar el teorema de Rolle, pero este es sobre un resultado general y pide mayor grado de formalidad supongo... No sé cómo escribir la prueba aunque tengo la siguiente intuición:

$f(x)=x^k + g(x)$

$f'(x)=kx^{k-1} + g'(x)$

¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Entre dos raíces cualesquiera $x_i$ et $x_j$ de $f$ sabemos que $f$ es continua en $[x_i, x_j]$ y diferenciable en $(x_i, x_j)$ avec $f(x_i) = f(x_j) = 0$ así que por Rolle's hay un $x_k \in (x_i, x_j)$ tal que $f'(x_k) = 0$ . Por lo tanto, $f'$ tiene al menos $k-1 $ raíces.

Answer 2

Saludos @Gioacchino . Puede que no dé todos los detalles. Podemos utilizar la inducción. Para $k=2$ entonces la función $f(x) = (x-r_{1})(x-r_{2})g(x) $ tiene $$f'(x) = (x-r_{2})g(x) + (x-r_{1})g(x) + (x-r_{1})(x-r_{2})g'(x) $$ Las posibilidades de $g(x)$ son $g(x) = H(x)$ o $g(x) = (x-r_{1})^{m}H(x)$ o $g(x) = (x-r_{2})^{m}H(x)$ o $g(x) =(x-r_{1})^{m} (x-r_{2})^{n} H(x)$ . Con estas posibilidades, se podría comprobar que $f'(x)$ tendrá al menos $k-1 = 1$ raíz.

Ahora dejemos que la afirmación sea verdadera para $k = 2, ... , n$ . Nos gustaría probar para $k=n+1$ :

$$ f(x) = (x-r_{1})...(x-r_{n+1})g(x) $$

$$ f'(x) = h(x) + (x-r_{1}) \left[ h'(x) \right] $$

con

$$h(x) = (x-r_{2})...(x-r_{n+1})g(x)$$

Observe que $h(x)$ es un polinomio con al menos $n$ diferentes raíces, por lo que $h'(x)$ debe tener al menos $n-1$ diferentes raíces. Podemos escribir $h'(x)$ de la forma

$$ h'(x) = (x-r_{m}) G_{m}(x), \:\:\: m = 2,...,n+1 $$

De aquí se desprende que $f'(x)$ tiene al menos $k-1 = n$ diferentes raíces.

Saludos, Arief