Realización espectral de la transformación natural de bordismo a homología singular

Question

Existe una versión geométrica de la definición de homología singular $H_n$ en términos de mapas continuos de "pseudomoldes" ( $n$ -complejos simpliciales tales que cada $(n-1)$ -está contenido en exactamente dos $n$ -con orientaciones inducidas opuestas y cada simplex está contenido en algún $n$ -) y una noción de cobordismo entre dichos mapas. Los mapas de las variedades lisas son un caso especial de los mapas de las pseudomoldes, por lo que se induce un mapa natural

$MSO_k X \longrightarrow H_k X.$

(Esta pregunta lo expresa mejor: ¿Existe una teoría inicial de homología "tipo bordismo"? )

Estas teorías son de representables, en el sentido de que

$MSO_k X = \pi_k(MSO \wedge X)$ et $H_k X = \pi_k(H\mathbb{Z} \wedge X)$ .

¿Existe un mapa $MSO \to H\mathbb Z$ de los espectros que inducen este homomorfismo natural ? Si es así, ¿qué se puede decir al respecto?

Answer 1

Supongo que debería escribir una respuesta en lugar de publicar comentarios.

Buscamos un mapa $MSO \to H\mathbb{Z}$ . No es difícil ver que cualquier mapa de este tipo tiene como factor $MSO \to H\pi_0 MSO$ y las clases de homotopía de los mapas de $H\pi_0 MSO \to H\mathbb{Z}$ están en biyección con $\pi_0 MSO \to \mathbb{Z}$ Así que sólo tenemos que entender el mapa $MSO \to H\mathbb{Z}$ sur $\pi_0$ .

Ahora podemos pensar en $\pi_0 MSO$ como $0$ -de las variedades dimensionales hasta el cobordismo, y podemos pensar en $\pi_0 H\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}$ como $0$ -de los "pseudomanifolds" hasta el cobordismo. Pero $0$ -son lo mismo que $0$ -de los pseudomoldes, por lo que el mapa $\pi_0 MSO \cong \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ es la identidad.

Esto demuestra que el mapa $H\pi_0 MSO \xrightarrow{\sim} H\mathbb{Z}$ es una equivalencia, por lo que el mapa $MSO \to H\mathbb{Z}$ es sólo la etapa zeroth Postnikov $$MSO \to H\pi_0 MSO \simeq H\mathbb{Z}.$$