Dejemos que $\Omega$ sea un conjunto, $A_0$ un álgebra sobre $\Omega$ y $A$ el $\sigma$ -generada por $A_0$ . Sea $\mu$ et $\nu$ sean medidas sobre $A$ tal que $\mu (x) \leq \nu (x)$ para todos $x\in A_0$ . Demuestre que no es necesario que la desigualdad se cumpla para todos los $x\in A$ y proporcionar condiciones adicionales que amplíen la desigualdad.
Este es un ejercicio del libro Measure de H. Bauer. Mi suposición es que tengo que encontrar alguna álgebra para la que cada elemento tenga una medida infinita (tanto para $\mu$ et $\nu$ ), y la desigualdad es falsa en $A\backslash A_0$ pero no puedo encontrar un ejemplo de este tipo. Sugiere tomar $A_0$ como el conjunto de uniones finitas de intervalos abiertos de media izquierda en la recta real, $\nu$ como medida de recuento, y $\mu:=2\nu$ . Pero, ¿no son todos los conjuntos de $A$ ¿Infinito en este caso?
