Por lo que realmente $\alpha >0$ , lo hace $\int_{1}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{x^\alpha-1}}\, dx}$ ¿converger?

Question

Quiero comprobar mi computación.

He dividido el ejercicio en dos integrales: $\int_{1}^{A}{\frac{1}{\sqrt{x^\alpha-1}}\, dx}$ et $\int_{A}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{x^\alpha-1}}\, dx}$ para algún positivo $A>1,A\in \mathbb{R}$ .

Desde $\int_{A}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{x^\alpha-1}}\, dx}=\int_{A}^{\infty}{\frac{1}{x^{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{1-\frac{1}{x^\alpha}}}\, dx} \sim \int_{A}^{\infty}{\frac{1}{x^{\frac{\alpha}{2}}}\, dx}$ para $x\to \infty$ ; encuentro que converge para $\alpha >2$ .

Con la sustitución $x^\alpha-1=y^\alpha$ la segunda parte se convierte: $\int_{0}^{A}{\frac{(y^\alpha+1)^{\frac{1-\alpha}{\alpha}}y^{\alpha-1}}{\sqrt{y^\alpha}}\, dy}= \int_{0}^{A}{\frac{(y^\alpha+1)^{\frac{1-\alpha}{\alpha}}}{y^{1-\frac{\alpha}{2}}}\, dy}\sim \int_{0}^{A}{\frac{1}{y^{1-\frac{\alpha}{2}}}\,dx}$ para $y \to 0$ Encuentro que converge para $\alpha>0$ .

Al final, converge para $\alpha >2$ .

Answer 1

pista

cerca de $1$ Utiliza la equivalencia

$$x^\alpha-1=e^{\alpha \ln (x)}-1$$ $$\sim \alpha \ln (x) \sim \alpha (x-1)$$ pero $\int_1\frac {dx}{\sqrt {x-1}} $ converge.

cerca de $+\infty $ ,

$$\sqrt {x^\alpha-1}\sim x^\frac {\alpha}{2} $$ y $$\int^{+\infty }\frac {dx}{x^\frac \alpha 2}$$ converge si $$\alpha>2.$$

como conclusión, su integral converge

si $\alpha>2$ .