Número mínimo de generadores de un ideal homogéneo (ejercicio de Harsthorne)

Question

En el primer capítulo, Hartshorne propone el siguiente ejercicio aparentemente trivial (ej. I.2.17(ii) ):

Demuestre que una intersección completa estricta es una intersección completa teórica de conjuntos

Aquí están las definiciones de Hartshorne:

Una variedad $Y$ de dimensión r en $\mathbb{P}^n$ es una intersección completa (estricta) si $I(Y)$ puede ser generado por $n-r$ elementos. $Y$ es una intersección completa teórica de conjuntos si $Y$ puede escribirse como la intersección de $n-r$ hipersuperficies.

Aquí $I(Y)$ es el ideal homogéneo de $Y$ . La cuestión es que la primera definición parece errónea, ya que naturalmente se requeriría que $I(Y)$ puede ser generado por $n-r$ homogéneo elementos (con esta definición el ejercicio se vuelve trivial).

Nunca me he decidido si se trata de un error de imprenta de Hartshorne. Así que la pregunta es

¿Es cierto que en un anillo polinómico cualquier ideal homogéneo generado por k elementos está también generado por k elementos homogéneos?

Si recuerdo bien no es difícil encontrar contraejemplos en anillos graduados que no sean anillos polinómicos, así que el objetivo del ejercicio puede ser demostrar que los anillos polinómicos tienen esta propiedad especial.

Answer 1

Querida Andrea: Hartshorne tenía razón, pero tenemos que trabajar un poco. Deja que $\mu(I)$ sea el número mínimo de generadores de $I$ y $\mu_h(I)$ sea el número mínimo de un sistema homogéneo de generadores de $I$ . Sea $R=k[x_1,\cdots,x_n]$ y $m=(x_1,\cdots,x_n)$ . Supongamos que $\mu_h(I)=n$ y $(f_1,\cdots, f_n)$ es un conjunto mínimo homogéneo de generadores. En este punto pasamos al anillo local $A=R_m$ (la razón: es más fácil hacer álgebra lineal sobre anillos locales, ya que cualquier cosa que no esté en $m$ es ahora invertible). No afectará a nada ya que $I\subset m$ .

Construir un mapa suryectivo $F_0 = \oplus_1^n A(-deg \ f_i) \to I \to 0$ y que $K$ sea el núcleo. Afirmamos que $K \subset mF_0$ . Si no, se puede encontrar un elemento $(a_1,...,a_n) \in K$ tal que $\sum a_if_i=0$ y $a_1$ , digamos, tiene un título $0$ término $u_1\neq 0$ . Al considerar los términos de igual grado en la suma se ve que hay $b_i$ s tal que: $$u_1f_1 = \sum_{2}^n b_if_i$$ por lo que el sistema no es mínimo, ya que $u_1 \in k$ contradicción.

Ahora se tensa la secuencia $$ 0 \to K \to F_0 \to I \to 0$$ con $k=A/m$ . Por la reclamación $K\subset mF_0$ Así que $F\otimes k \cong I\otimes k$ . De ello se desprende que $n= rank\ F_0 = dim_k(I\otimes k)$ . Pero sobre un anillo local, el último término es exactamente $\mu(I)$ y hemos terminado.